Меню Главная Случайная статья Настройки Бинарная операция Материал из https://ru.wikipedia.org Бинарная, или двуместная, операция (от лат. bi «два») — математическая операция, принимающая два аргумента и возвращающая один результат (то есть операция с арностью два). Содержание 1 Определение 2 Замечание 3 Типы бинарных операций 3.1 Коммутативная операция 3.2 Ассоциативная операция 4 Примеры 5 Записи 5.1 Мультипликативная запись 5.2 Аддитивная запись 6 Обратная операция 6.1 Теорема 1 6.2 Теорема 2 7 См. также 8 Литература Определение Пусть ${\displaystyle A,\;B,\;C}$ — тройка непустых множеств. Бинарной операцией, или бинарной функцией, на паре ${\displaystyle A,\;B}$ со значениями в ${\displaystyle C}$ называется отображение ${\displaystyle P:A\times B\to C}$. Пусть ${\displaystyle A}$ — непустое множество. Бинарной операцией на множестве ${\displaystyle A}$, или внутренней бинарной операцией, называют отображение ${\displaystyle P:A\times A\to A}$. Первое определение соответствует франкоязычной традиции, второе — англоязычной. Чаще всего рассматриваются именно внутренние бинарные операции. Также имеется близкое понятие закона композиции, объединяющее внутренние бинарные операции ${\displaystyle P:A\times A\to A}$ (внутренние законы композиции) с бинарными операциями вида ${\displaystyle P:A\times B\to A}$ или ${\displaystyle P:B\times A\to A}$ (внешними законами композиции). Замечание Бинарную операцию принято обозначать знаком действия, который ставится между операндами (инфиксная форма записи). Например, для произвольной бинарной операции ${\displaystyle \circ }$ результат её применения к двум элементам ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ записывается в виде ${\displaystyle x\circ y}$. При этом, однако, используются другие формы записи бинарных операций, а именно: префиксная (польская запись) — ${\displaystyle \circ \,x\;y}$; постфиксная (обратная польская запись) — ${\displaystyle x\;y\,\circ }$. Типы бинарных операций Коммутативная операция Бинарная операция ${\displaystyle \circ }$ называется коммутативной, только когда её результат не зависит от перестановки операндов, то есть Ассоциативная операция Бинарная операция ${\displaystyle \circ }$ называется ассоциативной, только когда Для ассоциативной операции ${\displaystyle \circ }$ результат вычисления ${\displaystyle x_{1}\circ x_{2}\circ \ldots \circ x_{n}}$ не зависит от порядка вычисления (расстановки скобок), и потому позволяется опускать скобки в записи. Для неассоциативной операции выражение ${\displaystyle x_{1}\circ x_{2}\circ \ldots \circ x_{n}}$ при ${\displaystyle n>2}$ однозначно не определено. Существует также более слабое, чем ассоциативность, свойство: альтернативность. Примеры Примерами бинарных операций могут служить сложение, умножение и вычитание на поле вещественных чисел. Сложение и умножение чисел являются коммутативными и ассоциативными операциями, а вычитание — нет. Записи Мультипликативная запись Если абстрактную бинарную операцию на ${\displaystyle M}$ называют умножением, то её результат для элементов ${\displaystyle x,\;y\in M}$ называют их произведением и обозначают ${\displaystyle x\cdot y}$ или ${\displaystyle xy}$. В этом случае нейтральный элемент ${\displaystyle e\in M}$, то есть элемент, удовлетворяющий равенствам называется единичным элементом относительно выбранной бинарной операции. Аддитивная запись Если бинарную операцию называют сложением, то образ пары элементов ${\displaystyle x,\;y\in M}$ называют суммой и обозначают ${\displaystyle x+y}$. Обычно, если бинарную операцию называют сложением, то она предполагается коммутативной. Нейтральный элемент в аддитивной записи обозначают символом 0, называют нулевым элементом и пишут Обратная операция Если операция обладает биективностью, то у неё существуют обратные операции. Для бинарной операции может быть до двух обратных операций (левая и правая), в случае коммутативной операции — они совпадают. Теорема 1 Для любой бинарной операции существует не более одного нейтрального элемента, то есть два любых нейтральных элемента на самом деле оказываются совпадающими. Пусть имеется два нейтральных элемента ${\displaystyle e_{1}}$ и ${\displaystyle e_{2}}$. По определению нейтрального элемента, для любого элемента ${\displaystyle x}$ должно выполняться: Положим в первом из этих равенств ${\displaystyle x=e_{2}}$, а во втором ${\displaystyle x=e_{1}}$: Так как левые части этих равенств (после перестановки) равны, то равны и правые: Теорема 2 Если бинарная операция ассоциативна, то для каждого элемента существует не более одного обратного.