Меню Главная Случайная статья Настройки Кососимметричная матрица Материал из https://ru.wikipedia.org Кососимметричная (кососимметрическая или антисимметричная) матрица — квадратная матрица ${\displaystyle A}$ над полем ${\displaystyle k}$ характеристики, отличной от 2, удовлетворяющая соотношению: ${\displaystyle A^{T}=-A,}$ где ${\displaystyle A^{T}}$ — транспонированная матрица. Для ${\displaystyle n\times n}$ матрицы ${\displaystyle A}$ это соотношение эквивалентно: ${\displaystyle a_{i,j}={}-a_{j,i}}$ для всех ${\displaystyle i,j=1,2,\ldots ,n}$, где ${\displaystyle a_{i,j}}$ — элемент ${\displaystyle i}$-ой строки и ${\displaystyle j}$-го столбца матрицы ${\displaystyle A}$. Свойства Ранг кососимметрической матрицы всегда чётный. Любая квадратная матрица В над полем характеристики, отличной от 2, есть сумма симметрической и кососимметрической матриц, которые определяются единственным образом. Ненулевые корни характеристического многочлена вещественной кососимметрической матрицы — чисто мнимые числа. Вещественная кососимметрическая матрица подобна блочно-диагональной матрице с нулевыми недиагональными блоками и диагональными блоками ${\displaystyle 2\times 2}$ вида ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&a\\-a&0\end{pmatrix}}}$. Множество всех кососимметрических матриц порядка ${\displaystyle n}$ над полем ${\displaystyle k}$ образует алгебру Ли над ${\displaystyle k}$ относительно сложения матриц и коммутирования: ${\displaystyle [A,B]=AB-BA}$. См. также Пфаффиан