Меню Главная Случайная статья Настройки Аффинная длина Материал из https://ru.wikipedia.org Аффинная длина — параметр плоской кривой, который сохраняется при эквиаффинных преобразованиях (то есть аффинных преобразованиях, сохраняющих площадь). Содержание 1 Определение 1.1 Частные случаи 2 Свойства 3 Вариации и обобщения 4 Литература Определение Для плоской кривой ${\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{2}}$ аффинная длина вычисляется по формуле ${\displaystyle l=\int \limits _{a}^{b}|{\dot {\gamma }}(t)\times {\ddot {\gamma }}(t)|^{1/3}dt,}$ где ${\displaystyle \times }$ обозначает векторное произведение, а ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$ и ${\displaystyle {\ddot {\gamma }}(t)}$ — первую и вторую производную. Частные случаи Аффинная длина графика ${\displaystyle y=f(x)}$ функции ${\displaystyle f}$ задаётся как ${\displaystyle l=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt[{3}]{|f''(x)|}}dx,}$ Для кривой ${\displaystyle \gamma (s)}$ с натуральным параметром и кривизной ${\displaystyle \varkappa (s)}$ ${\displaystyle l=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt[{3}]{|\varkappa (s)|}}ds.}$ Свойства Аффинная длина дуги параболы равна ${\displaystyle 2{\sqrt[{3}]{S}},}$ где S есть площадь треугольника, образованного хордой дуги и касательными к параболе в концах дуги. Среди выпуклых замкнутых кривых с фиксированной аффинной длиной эллипсы (и только они) ограничивают наименьшую площадь. Вариации и обобщения Существуют также обобщения аффинной длины на случай пространственных кривых и для общей аффинной группы, а также других её подгрупп. Литература Л. Фейеш Тот, Расположения на плоскости, на сфере и в пространстве, М., Физматлит, 1958. — 364 с.