Меню Главная Случайная статья Настройки Аффинное преобразование Материал из https://ru.wikipedia.org Аффинное преобразование, иногда афинное преобразование[1] (от лат. affinis «соприкасающийся, близкий, смежный») — отображение плоскости или пространства в себя, при котором параллельные прямые переходят в параллельные прямые, пересекающиеся — в пересекающиеся, скрещивающиеся — в скрещивающиеся[2]. Содержание 1 Определения 1.1 Геометрическое 1.2 Алгебраическое 1.3 Комментарии 2 Примеры 3 Свойства 4 Типы аффинных преобразований 5 Матричное представление 6 Вариации и обобщения 7 См. также 8 Примечания 9 Ссылки Определения Геометрическое Биекция евклидова пространства или плоскости в себя, отображающая параллельные прямые в параллельные прямые, называется аффинным преобразованием. Алгебраическое Аффинное преобразование ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ есть преобразование вида ${\displaystyle f(x)=M\cdot x+v,}$ где ${\displaystyle M}$ — обратимая матрица и ${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{n}}$. Комментарии Заметим, что в геометрическом определении не предполагается непрерывность. Однако непрерывность следует из определения не вполне тривиальным образом. Более того, оба определения равносильны по так называемой основной теореме аффинной геометрии. Заметим, что преобразование является аффинным, если его можно получить следующим образом: Выбрать «новый» базис пространства с «новым» началом координат ${\displaystyle v}$; Каждой точке ${\displaystyle x}$ пространства поставить в соответствие точку ${\displaystyle f(x)}$, имеющую те же координаты относительно «новой» системы координат, что и ${\displaystyle x}$ в «старой». Примеры Примерами аффинных преобразований являются движения; растяжения; преобразования подобия повороты. Свойства При аффинном преобразовании прямая переходит в прямую. Если размерность пространства ${\displaystyle {n}\geqslant 2}$[источник не указан 4763 дня], то любое преобразование пространства (то есть биекция пространства на себя), которое переводит прямые в прямые, является аффинным. Это определение используется в аксиоматическом построении аффинной геометрии Аффинные преобразования образуют группу относительно композиции. Любые три точки, не лежащие на одной прямой и их образы соответственно (не лежащие на одной прямой) однозначно задают аффинное преобразование плоскости. Типы аффинных преобразований Эквиаффинное преобразование — аффинное преобразование, сохраняющее площадь (также сохраняется аффинная длина). Центроаффинное преобразование — аффинное преобразование, сохраняющее неподвижной одну точку. Матричное представление Как и другие проективные преобразования, аффинное преобразование ${\displaystyle f(x)=M\cdot x+v}$ можно записать как матрицу перехода в однородных координатах: ${\displaystyle {\begin{pmatrix}f(x)\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}M&v\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\1\end{pmatrix}}}$ Матричное представление используется, в частности, для записи аффинных преобразований в компьютерной графике. Указанная выше форма используется в OpenGL[3]; в DirectX (где координаты представляются в виде матриц 14) она транспонирована[4]. Вариации и обобщения В приведённом выше определении аффинного преобразования можно использовать любое поле, а не только поле вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Отображение между метрическими пространствами называется аффинным, если оно переводит геодезические в геодезические (с учётом параметризации). Аффинные преобразования пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ являются частным случаем проективных преобразований того же пространства. В свою очередь, проективные преобразования пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ можно представить как аффинные преобразования пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$. См. также Способ «резинового листа» (Локально-аффинная трансформация) Примечания Каган В.Ф. Основы теории поверхностей в тензорном изложении. — Рипол-классик, 2013. — 518 с. — ISBN 9785458491099. И. М. Виноградов. Аффинное преобразование // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия (рус.). — 1977—1985. OpenGL Transformation (англ.). Дата обращения: 4 августа 2010. Архивировано 23 августа 2011 года. Transforms (Direct3D 9) (англ.). Дата обращения: 4 августа 2010. Архивировано 23 августа 2011 года. Ссылки Аффинное преобразование плоскости и его матричное представление Архивная копия от 24 ноября 2007 на Wayback Machine Ершов А.В. Линейные и аффинные пространства и отображения Архивная копия от 3 декабря 2021 на Wayback Machine. М.: МФТИ, 2016. 69 с.