Меню Главная Случайная статья Настройки Бикватернионная формула Остроградского — Гаусса Материал из https://ru.wikipedia.org Содержание 1 Кватернионные формулы 2 Бикватернионные формулы для одной функции 3 Бикватернионная формула для двух функций 4 См. также 5 Источники Кватернионные формулы Для кватернионных функций ${\displaystyle f(Q)}$ кватернионного аргумента ${\displaystyle Q=(t,{\mathbf {r}}),\ {\mathbf {r}}=(x,y,z)}$, непрерывно дифференцируемых по каждой из координат ${\displaystyle t,x,y,z}$ внутри некоторой области ${\displaystyle V_{4}}$ псевдоевклидова кватернионного пространства и на его границе ${\displaystyle S_{3}=\partial V_{4}}$ , имеют место формулы типа Остроградского-Гаусса[1][2]: ${\displaystyle \oint _{S_{3}}f\ dQ=\int _{V_{4}}f{\hat {D}}\ dV_{4}}$ ${\displaystyle \oint _{S_{3}}dQ\ f=\int _{V_{4}}{\hat {D}}f\ dV_{4},}$ где ${\displaystyle {\hat {D}}={\frac {\partial }{\partial t}}+{\mathbf {i}}{\frac {\partial }{\partial x}}+{\mathbf {j}}{\frac {\partial }{\partial y}}+{\mathbf {k}}{\frac {\partial }{\partial z}}}$, ${\displaystyle Q=t+{\mathbf {i}}x+{\mathbf {j}}y+{\mathbf {k}}z}$, ${\displaystyle {\mathbf {i}},{\mathbf {j}},{\mathbf {k}}}$ — базисные кватернионы, . В первой из этих формул оператор ${\displaystyle {\hat {D}}}$ действует влево от себя, а во второй — вправо от себя. Бикватернионные формулы для одной функции Аналогично приведённым выше кватернионным формулам имеют место формулы типа Остроградского-Гаусса для бикватернионных функций ${\displaystyle F}$ вещественного бикватернионного аргумента ${\displaystyle Z}$[3]: ${\displaystyle \oint _{S_{3}}F\ dZ=\int _{V_{4}}(FD)\ dV_{4}}$ ${\displaystyle \oint _{S_{3}}dZ\ F=\int _{V_{4}}(DF)\ dV_{4}}$ В правых частях этих формул производится интегрирование внутри некоторой вещественнозначной области ${\displaystyle V_{4}}$ комплексного псевдоевклидова пространства бикватернионов, а в левых частях производится интегрирование по границе этой области ${\displaystyle S_{3}=\partial V_{4}}$. ${\displaystyle D=(\partial _{t},\nabla )}$ обозначает бикватернионный 4-градиент. Из бикватернионных формул для одной функции при рассмотрении частного случая чисто векторной функции ${\displaystyle F={\mathbf {F}}}$ следуют обычная формула Остроградского-Гаусса и теорема Стокса: ${\displaystyle \oint _{S_{2}}{\mathbf {F}}\cdot d{\mathbf {s}}=\int _{V_{3}}(\nabla \cdot {\mathbf {F}})\ dV_{3}}$ ${\displaystyle \oint _{S_{2}}d{\mathbf {s}}\times {\mathbf {F}}=\int _{V_{3}}(\nabla \times {\mathbf {F}})\ dV_{3},}$ Бикватернионная формула для двух функций Существует расширение формул для одной функции вещественного бикватернионного аргумента на случай двух функций ${\displaystyle F(Z),G(Z)}$ вещественного бикватернионного аргумента ${\displaystyle Z}$ [4] . ${\displaystyle \oint _{S_{3}}FdZG=\int _{V_{4}}(FDG)dV_{4},}$ где используется следующая квадратичная форма от функций ${\displaystyle F(Z),G(Z)}$: ${\displaystyle (FDG)=(FD)G+F(DG).}$ Каждую из бикватернионных формул для одной функции можно получить из бикватернионной формулы для двух функций, если взять в качестве одной из двух функций единицу. Оператор ${\displaystyle D}$ раскладывается по бикватернионному базису как: ${\displaystyle D=\sum \limits _{k=0}^{3}e_{k}\partial _{k}}$, а дифференциал координаты как: ${\displaystyle dZ=\sum \limits _{i=0}^{3}e_{i}dx_{i}}$. Рассмотрим сначала формулу типа Остроградского-Гаусса для одной бикватернионной функции. Левая часть этой формулы выразится как: ${\displaystyle \oint _{S_{3}}dZ\ F=\oint _{S_{3}}(\sum \limits _{i=0}^{3}e_{i}dx_{i})\ F=\oint _{S_{3}}\sum \limits _{i=0}^{3}(e_{i}F)dx_{i}=\oint _{S_{3}}\sum \limits _{i=0}^{3}F_{i}dx_{i},}$ где обозначено: ${\displaystyle F_{i}=e_{i}F}$. Для правой же части формулы получаем: ${\displaystyle \int _{V_{4}}(DF)\ dV_{4}=\int _{V_{4}}(\sum \limits _{k=0}^{3}e_{k}\partial _{k})F\ dV_{4}=\int _{V_{4}}\sum \limits _{k=0}^{3}\partial _{k}(e_{k}F)\ dV_{4}=\int _{V_{4}}\sum \limits _{k=0}^{3}\partial _{k}F_{k}\ dV_{4}}$ Tаким образом, бикватернионную формулу для одной функции можно выразить в виде, стандартном для векторного анализа: ${\displaystyle \oint _{S_{3}}\sum \limits _{i=0}^{3}F_{i}dx_{i}=\int _{V_{4}}\sum \limits _{k=0}^{3}\partial _{k}F_{k}\ dV_{4}}$ Левую часть бикватернионной формулы для двух функций можно выразить следующим: ${\displaystyle \oint _{S_{3}}FdZG=\oint _{S_{3}}F(\sum \limits _{i=0}^{3}e_{i}dx_{i})G=\oint _{S_{3}}\sum \limits _{i=0}^{3}(Fe_{i}G)dx_{i}=\oint _{S_{3}}\sum \limits _{i=0}^{3}A_{k}dx_{i},}$ где обозначено ${\displaystyle A_{k}=Fe_{i}G}$. К последнему интегралу применима полученная выше бикватернионная формула для одной функции: ${\displaystyle \oint _{S_{3}}\sum \limits _{i=0}^{3}A_{k}dx_{i}=\int _{V_{4}}\sum \limits _{k=0}^{3}\partial _{k}A_{k}\ dV_{4}=\int _{V_{4}}(FDG)\ dV_{4},}$ Последнее тождество и завершает доказательство. См. также Кватернионы Бикватернионы Формула Остроградского — Гаусса Теорема Стокса Источники C. A. Deavours, «The Quaternion Calculus», American Mathematical Monthly, 1973, 995—1008. A. Sudbery, «Quaternionic analysis», Math. Proc. Camb. Phil. Soc., 85 (1979), 199—225. K. Imaeda, «A new formulation of classical electrodynamics», Nuovo Cimento B, 32:1 (1978), 138—162. S.Y. Kotkovskiy. «Nonlinear Maxwell equations». arXiv:2403.00836 [physics.class-ph], 28-31.