Меню Главная Случайная статья Настройки Билинейная форма Материал из https://ru.wikipedia.org Пусть ${\displaystyle L}$ есть векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$ (чаще всего рассматриваются поля ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ или ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$). Билинейной формой называется функция ${\displaystyle F\colon L\times L\to K}$, линейная по каждому из аргументов: ${\displaystyle F(x+z,\,y)=F(x,\,y)+F(z,\,y)}$, ${\displaystyle F(x,\,y+z)=F(x,\,y)+F(x,\,z)}$, ${\displaystyle F(\lambda x,\,y)=\lambda F(x,\,y)}$, ${\displaystyle F(x,\,\lambda y)=\lambda F(x,\,y)}$, здесь ${\displaystyle x,y,z\in L}$ и ${\displaystyle \lambda \in K.}$ Билинейная форма — частный случай понятия тензора (тензор ранга (0,2)). Содержание 1 Альтернативное определение 2 Связанные определения 3 Свойства 4 Преобразование матрицы билинейной формы при замене базиса 5 Связь с тензорными произведениями и функтором Hom 6 См. также 7 Литература Альтернативное определение В случае конечномерных пространств (например, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$) чаще используется другое определение. Пусть ${\displaystyle L}$ есть множество векторов вида ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),}$ где ${\displaystyle x_{i}\in K,i={\overline {1,n}}}$. Билинейными формами называются функции ${\displaystyle F\colon L\times L\to K}$ вида ${\displaystyle F(x,y)=\sum _{i,\,j=1}^{n}a_{ij}x_{i}y_{j},}$ где ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),}$ ${\displaystyle y=(y_{1},y_{2},\dots ,y_{n}),}$ а ${\displaystyle a_{ij}}$ — некоторые константы из поля ${\displaystyle K.}$ Говоря другими словами, билинейная форма — это функция от двух векторов по ${\displaystyle n}$ переменных компонент в каждом, являющаяся однородным многочленом первой степени относительно переменных компонент каждого вектора. Связанные определения Билинейная форма ${\displaystyle F}$ называется симметричной, если ${\displaystyle F(x,\,y)=F(y,\,x)}$ для любых векторов ${\displaystyle x,y\in L}$. Билинейная форма ${\displaystyle F}$ называется кососимметричной (антисимметричной), если ${\displaystyle F(x,\,y)=-F(y,\,x)}$ для любых векторов ${\displaystyle x,y\in L}$. Вектор ${\displaystyle x\in L}$ называется ортогональным (более точно, ортогональным слева) подпространству ${\displaystyle M\subset L}$ относительно ${\displaystyle F}$, если ${\displaystyle F(x,\,y)=0}$ для всех ${\displaystyle y\in M}$. Совокупность векторов ${\displaystyle x\in L}$, ортогональных подпространству ${\displaystyle M\subset L}$ относительно данной билинейной формы ${\displaystyle F}$, называется ортогональным дополнением подпространства ${\displaystyle M\subset L}$ относительно ${\displaystyle F}$ и обозначается ${\displaystyle M^{\perp }}$. Радикалом билинейной формы ${\displaystyle F}$ называется ортогональное дополнение самого пространства ${\displaystyle L}$ относительно ${\displaystyle F}$, то есть совокупность ${\displaystyle L^{\perp }}$ векторов ${\displaystyle x\in L}$, для которых ${\displaystyle F(x,\,y)=0}$ при всех ${\displaystyle y\in L}$. Свойства Множество всех билинейных форм ${\displaystyle W(L,L)}$, заданных на произвольном фиксированном пространстве, является линейным пространством. Любую билинейную форму можно представить в виде суммы симметричной и кососимметричной форм. При выбранном базисе ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ в ${\displaystyle L}$ любая билинейная форма ${\displaystyle F}$ однозначно определяется матрицей ${\displaystyle {\begin{pmatrix}F(e_{1},\,e_{1})&F(e_{1},\,e_{2})&\ldots &F(e_{1},\,e_{n})\\F(e_{2},\,e_{1})&F(e_{2},\,e_{2})&\ldots &F(e_{2},\,e_{n})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\F(e_{n},\,e_{1})&F(e_{n},\,e_{2})&\ldots &F(e_{n},\,e_{n})\end{pmatrix}},}$ так что для любых векторов ${\displaystyle x=x^{1}e_{1}+x^{2}e_{2}+\cdots +x^{n}e_{n}}$ и ${\displaystyle y=y^{1}e_{1}+y^{2}e_{2}+\cdots +y^{n}e_{n}}$ ${\displaystyle F(x,\,y)={\begin{pmatrix}x^{1}&x^{2}&\ldots &x^{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}F(e_{1},\,e_{1})&F(e_{1},\,e_{2})&\ldots &F(e_{1},\,e_{n})\\F(e_{2},\,e_{1})&F(e_{2},\,e_{2})&\ldots &F(e_{2},\,e_{n})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\F(e_{n},\,e_{1})&F(e_{n},\,e_{2})&\ldots &F(e_{n},\,e_{n})\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}y^{1}\\y^{2}\\\vdots \\y^{n}\end{pmatrix}},}$ то есть ${\displaystyle F(x,\,y)=\sum _{i,j=1}^{n}f_{ij}\,x^{i}y^{j},\ \quad f_{ij}=F(e_{i},\,e_{j}).}$ Это также означает, что билинейная форма полностью определяется своими значениями на векторах базиса. Размерность пространства ${\displaystyle W(L,L)}$ есть ${\displaystyle \dim W(L,L)=(\dim L)^{2}}$. Несмотря на то, что матрица билинейной формы ${\displaystyle F}$ зависит от выбора базиса, ранг матрицы билинейной формы в любом базисе один и тот же, он называется рангом билинейной формы ${\displaystyle F}$. Билинейная форма называется невырожденной, если её ранг равен ${\displaystyle \dim L}$. Для любого подпространства ${\displaystyle M\subset L}$ ортогональное дополнение ${\displaystyle M^{\perp }}$ является подпространством ${\displaystyle M^{\perp }\subset L}$. ${\displaystyle \dim L^{\perp }=\dim L-r}$, где ${\displaystyle r}$ — ранг билинейной формы ${\displaystyle F}$. Преобразование матрицы билинейной формы при замене базиса Матрица, представляющая билинейную форму в новом базисе, связана с матрицей, представляющей её в старом базисе, через матрицу, обратную матрице перехода к новому базису (матрице Якоби), через которую преобразуются координаты векторов. Иными словами, если координаты вектора в старом базисе ${\displaystyle X^{i}}$ выражаются через координаты в новом ${\displaystyle x^{i}}$ через матрицу ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle X^{i}=\sum \beta _{j}^{i}x^{j}}$, или в матричной записи ${\displaystyle X=\beta x}$, то билинейная форма ${\displaystyle F}$ на любых векторах ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ запишется, как ${\displaystyle F(x,\,y)=\sum _{i,j}F_{ij}X^{i}Y^{j}=\sum _{i,j,k,m}F_{ij}\beta _{k}^{i}\beta _{m}^{j}x^{k}y^{m}}$, то есть компоненты матрицы, представляющей билинейную форму в новом базисе, будут: ${\displaystyle f_{km}=\sum _{i,j}F_{ij}\beta _{k}^{i}\beta _{m}^{j}}$, или, в матричной записи: ${\displaystyle f=\beta ^{T}F\beta }$, ${\displaystyle \beta =\alpha ^{-1}}$, где ${\displaystyle \alpha }$ — матрица прямого преобразования координат ${\displaystyle x=\alpha X}$. Связь с тензорными произведениями и функтором Hom Из универсального свойства тензорного произведения следует, что билинейные формы на V находятся во взаимно-однозначном соответствии со множеством ${\displaystyle {\text{Hom}}(V\otimes V,k)}$, где k — основное поле. Так как функтор тензорного произведения и функтор Hom являются сопряженными, ${\displaystyle {\text{Hom}}(V\otimes V,k)\cong {\text{Hom}}(V,{\text{Hom}}(V,k))}$, то есть билинейной форме соответствует линейное отображение из ${\displaystyle V}$ в двойственное пространство ${\displaystyle V^{*}}$. Это соответствие может быть проведено двумя путями (так как существует два функтора тензорного произведения — с зафиксированным левым аргументом и с зафиксированным правым), их часто обозначают как ${\displaystyle B_{1}({\mathsf {v}})=B({\mathsf {v}},\cdot )}$ ${\displaystyle B_{2}({\mathsf {v}})=B(\cdot ,{\mathsf {v}})}$. См. также Квадратичная форма Билинейная операция Билинейное преобразование Литература Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. — М.: Наука, 1975. Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984. Кострикин А. И. Введение в алгебру, М.: Наука, 1977. Гельфанд И. М., Линейная алгебра. Курс лекций. Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.