Бохар — воспитанник клуба «Мура». В 2009 году он дебютировал за основной состав во Второй лиге Словении. В 2011 году Дамьян помог клубу выйти в элиту. 17 июля в матче против «Копера» он дебютировал в чемпионате Словении[4]. Летом 2013 года его контракт истёк и Бохар на правах свободного агента подписал соглашение с «Марибором». 12 июля в матче против «Заврча» он дебютировал за новый клуб[5]. В этом же поединке Дамьян забил свой первый гол за «Марибор». 30 сентября 2014 года в матче Лиги чемпионов против немецкого «Шальке-04» он забил гол[6]. В составе «Марибора» Бохар трижды выиграл чемпионат и завоевал Кубок Словении.
6 сентября 2020 года игрок забил свой первый гол за сборную в ворота сборной Молдавии. Этот гол оказался победным, матч завершился со счётом 1:0.[источник не указан 1573 дня]