Варгас — воспитанник клуба «Санта-Фе». 9 августа 2009 года в матче против «Индепендьенте Медельин» он дебютировал в Кубке Мустанга[1]. В том же году в составе клуба Камило стал обладателем Кубка Колумбии. 24 ноября 2011 года в поединке против «Мильонариос» он забил свой первый гол за команду[2]. Варгас пришёл в штрафную соперника в конце встречи на подачу углового и ударом головы замкнул подачу с угла поля[3]. В 2012 году Камило стал чемпионом Апертуры, а в 2013 завоевал Суперкубок Колумбии. В 2014 году Варгас во второй раз стал чемпионом страны.
В начале 2015 года он перешёл в «Атлетико Насьональ». 23 февраля в матче против «Депортиво Пасто» Варгас дебютировал за новый клуб[4]. В своём дебютном сезоне он стал чемпионом Колумбии.
В начале 2016 года Варгас на правах аренды перешёл в аргентинский «Архентинос Хуниорс». 6 февраля в матче против «Тигре» он дебютировал в аргентинской Примере[5]. Летом того же года Камило на правах аренды присоединился к «Депортиво Кали». 1 августа в матче против своего бывшего клуба «Атлетико Насьональ» он дебютировал за новую команду[6]. В 2018 году клуб продлил аренду вратаря, а в 2019 году выкупил трансфер. 3 марта в поединке против «Мильонариос» Камило забил свой первый гол за «Депортиво Кали»[7].
В 2014 году Камило попал в заявку сборной на Чемпионат мира в Бразилии. На турнире он был запасным и на поле не вышел. В 2015 году в составе сборной Виктор принял участие в Кубке Америки в Чили. На турнире он вновь был дублёром и не сыграл ни минуты.
В 2018 году в Варгас принял участие в чемпионате мира 2018 года в России. На турнире он был запасным вратарём и на поле не вышел.
В 2019 году Камило во второй раз принял участие в Кубке Америке в Бразилии. На турнире он был запасным вратарём и на поле не вышел. В 2021 году Варгас в третий раз принял участие в Кубке Америки в Бразилии. На турнире он сыграл в матче против команды Перу[14].
