Меню Главная Случайная статья Настройки Верзиера Материал из https://ru.wikipedia.org Верзиера (иногда локон Аньези) (англ. witch of Agnesi — ведьма Аньези[1][2][3]; англ. versiera — ведьма с итальянского) — плоская кривая, геометрическое место точек ${\displaystyle M}$, для которых выполняется соотношение ${\displaystyle \textstyle {\frac {BM}{BC}}={\frac {OA}{OB}}}$, где ${\displaystyle OA}$ — диаметр окружности, ${\displaystyle BC}$ — полухорда этой окружности, перпендикулярная ${\displaystyle OA}$[4]. Своё название верзиера Аньези получила в честь итальянского математика Марии Гаэтаны Аньези, исследовавшей эту кривую[1][4][5][6][7][8][9][10][11]. Устаревший термин верзьера Аньези[4][12]. Обобщения верзиеры: аньезиана — прямая ${\displaystyle AL}$ занимает произвольное положение, перпендикулярное ${\displaystyle OA}$[13][14]; агвинея Ньютона — не только прямая ${\displaystyle AL}$, но и полюс ${\displaystyle O}$ занимает произвольное положение на ${\displaystyle OA}$[8][15]. Содержание 1 История 2 Синонимы 3 Уравнения 4 Свойства 5 Построение 6 Интересные факты 7 Примечания 8 Источники 9 Ссылки История Пьер Ферма в 1630 году нашёл площадь области между кривой и её асимптотой. В 1703 году Гвидо Гранди, независимо от Ферма, описал построение этой кривой, а в работе 1718 года назвал её верзиерой (итал. Versiera, от лат. Versoria), так как в его конструкции использовалась функция синус-верзус[16][17]. В 1748 году Мария Аньези опубликовала известный обобщающий труд Instituzioni analitiche ad uso della giovent italiana, в котором кривая, как и в работе Гранди, именовалась верзиерой. По совпадению, итальянское слово Versiera/Aversiera, производное от латинского Adversarius, имело также значение «ведьма» (англ. witch)[18]. Возможно, по этой причине кембриджский профессор Джон Колсон, переводивший труд Аньези на английский, неправильно перевёл это слово, в результате чего в литературе на английском языке кривая часто именуется the witch of Agnesi[3]. Синонимы В источниках встречаются следующие синонимы верзиеры. Наиболее известный синоним — локон Аньези (англ. Agnesi curl)[1][2][6][7][8][9][10][11][16]. Это курьезное название, возможно, исторически не обосновано[16]. Естественное название по классификации кривой — кубика Аньези (англ. cubic of Agnesi)[2]. Естественное название по форме кривой — колоколообразная кривая Коши (англ. bell curve of Cauchy)[2]. Устаревшие названия: верзьера Аньези[4][12]; аньезера [19]; версьера [19]. Уравнения ${\displaystyle O=(0,\,0),\,}$ ${\displaystyle A=(0,\,a).}$ В прямоугольной системе координат[2][20]: ${\displaystyle y={\frac {a^{3}}{a^{2}+x^{2}}}.}$ Координаты точки ${\displaystyle M}$, лежащей на верзиере — это ${\displaystyle x=BM,\,}$ ${\displaystyle y=OB.\,}$ Далее, ${\displaystyle OA=a}$ и по определению строим пропорцию ${\displaystyle {\frac {x}{BC}}={\frac {a}{y}}.}$ Отсюда ${\displaystyle BC={\frac {xy}{a}}.}$ С другой стороны, ${\displaystyle BC}$ может быть найден из уравнения окружности ${\displaystyle \left(y-{\frac {a}{2}}\right)^{2}+x^{2}={\frac {a^{2}}{4}}.}$ Нам известен ${\displaystyle y=OB}$, значит, выражаем ${\displaystyle x^{2}:}$ ${\displaystyle x^{2}={\frac {a^{2}}{4}}-\left(y-{\frac {a}{2}}\right)^{2}.}$ Приравниваем оба выражения для ${\displaystyle BC:}$ ${\displaystyle {\frac {x^{2}y^{2}}{a^{2}}}={\frac {a^{2}}{4}}-\left(y-{\frac {a}{2}}\right)^{2}.}$ Возводим в квадрат, переносим и выносим ${\displaystyle y^{2}}$ за скобки: ${\displaystyle \left({\frac {x^{2}}{a^{2}}}+1\right)y^{2}=ay.}$ Выражаем y (y = 0 не подходит по определению): ${\displaystyle y={\frac {a^{3}}{a^{2}+x^{2}}}.}$ Если ${\displaystyle a}$ — это не диаметр, а радиус окружности, то уравнение такое: ${\displaystyle y={\frac {8a^{3}}{4a^{2}+x^{2}}}.}$ Параметрическое уравнение[2][21]: ${\displaystyle {\begin{cases}x=a\,\operatorname {tg} \,\varphi ,\\y=a\cos ^{2}\varphi \end{cases}},}$ где ${\displaystyle \varphi }$ — угол между ${\displaystyle OA}$ и ${\displaystyle OC,\,}$ ${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}\leqslant \varphi \leqslant {\frac {\pi }{2}}.}$