Меню Главная Случайная статья Настройки Треугольная матрица Материал из https://ru.wikipedia.org Треугольная матрица — в линейной алгебре квадратная матрица, у которой все элементы, стоящие ниже (или выше) главной диагонали, равны нулю. Содержание 1 Основные определения 2 Применение 3 Свойства 4 См. также 5 Примечания 6 Литература Основные определения Верхняя треугольная матрица (или верхнетреугольная матрица) — квадратная матрица ${\displaystyle A}$, у которой все элементы ниже главной диагонали равны нулю: ${\displaystyle a_{ij}=0}$ при ${\displaystyle i>j}$[1][2] Нижняя треугольная матрица (или нижнетреугольная матрица) — квадратная матрица ${\displaystyle A}$, у которой все элементы выше главной диагонали равны нулю: ${\displaystyle a_{ij}=0}$ при ${\displaystyle i<j}$[1][2]. Унитреугольная матрица (верхняя или нижняя) — треугольная матрица ${\displaystyle A}$, в которой все элементы на главной диагонали равны единице: ${\displaystyle a_{jj}=1}$[3]. Диагональная матрица является одновременно и верхней треугольной, и нижней треугольной[4]. Применение Треугольные матрицы используются в первую очередь при решении систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Например, метод Гаусса решения СЛАУ основан на следующем результате[5]: любую матрицу ${\displaystyle A_{n\times n}}$ путём элементарных преобразований над строками и перестановок строк можно привести к треугольному виду. Тем самым решение исходной СЛАУ сводится к решению системы линейных уравнений с треугольной матрицей коэффициентов, что не представляет сложностей. Существуют вариант этого метода (называемый компактной схемой метода Гаусса), основанный на следующих результатах[6]: любую квадратную матрицу ${\displaystyle A}$ с отличными от нуля ведущими главными минорами можно представить в виде произведения нижней треугольной матрицы ${\displaystyle L}$ и верхней треугольной матрицы ${\displaystyle U}$: ${\displaystyle A=LU}$ (см. LU-разложение), причём такое разложение единственно, если диагональные элементы одной из двух треугольных матриц заранее зафиксированы — например, можно потребовать, чтобы ${\displaystyle L}$ была унитреугольной; любую невырожденную квадратную матрицу ${\displaystyle A}$ можно представить в следующем виде: ${\displaystyle PA=LU}$, где ${\displaystyle P}$ — матрица перестановок (выбирается в процессе построения разложения) (см. LUP-разложение). Свойства Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов её главной диагонали[7] (в частности, определитель унитреугольной матрицы равен единице). Множество невырожденных верхних треугольных матриц порядка n по умножению с элементами из поля k образует группу[4], которая обозначается UT(n, k) или UTn (k). Множество невырожденных нижних треугольных матриц порядка n по умножению с элементами из поля k образует группу[4], которая обозначается LT(n, k) или LTn (k). Множество верхних унитреугольных матриц с элементами из поля k образует подгруппу UTn (k) по умножению, которая обозначается SUT(n, k) или SUTn (k). Аналогичная подгруппа нижних унитреугольных матриц обозначается SLT(n, k) или SLTn (k). Множество всех верхних треугольных матриц с элементами из ассоциативного кольца k образует алгебру относительно операций сложения, умножения на элементы кольца и перемножения матриц. Аналогичное утверждение справедливо для нижних треугольных матриц. Группа UTn разрешима, а её унитреугольная подгруппа SUTn нильпотентна. См. также Система линейных алгебраических уравнений Элементарные преобразования матрицы Единичная матрица Диагональная матрица Примечания 1 2 Воеводин и Кузнецов, 1984, с. 27. 1 2 Икрамов, 1991, с. 9—10. Икрамов, 1991, с. 10. 1 2 3 Гантмахер, 1988, с. 27. Гантмахер, 1988, с. 42—43. Воеводин и Кузнецов, 1984, с. 76, 174—175. Воеводин и Кузнецов, 1984, с. 30. Литература Воеводин В. В., Кузнецов Ю. А. . Матрицы и вычисления. — М.: Наука, 1984. — 320 с.