Меню Главная Случайная статья Настройки Вложенные радикалы Материал из https://ru.wikipedia.org В алгебре вложенным радикалом называется радикал, содержащийся в другом радикале. Например ${\displaystyle {\sqrt {5-2{\sqrt {5}}\ }},}$ или более сложный пример ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2+{\sqrt {3}}+{\sqrt[{3}]{4}}\ }}.}$ Значения всех вложенных радикалов называются выразимыми в радикалах. Содержание 1 Упрощение вложенных радикалов 2 Бесконечно вложенные радикалы 2.1 Общие положения 2.2 Тривиальные случаи 2.3 Нетривиальные случаи 2.4 Частные случаи 3 Ссылки Упрощение вложенных радикалов Некоторые вложенные радикалы могут быть упрощены. Например: ${\displaystyle {\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}=1+{\sqrt {2}}\,,}$ ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{{\sqrt[{3}]{2}}-1}}={\frac {1-{\sqrt[{3}]{2}}+{\sqrt[{3}]{4}}}{\sqrt[{3}]{9}}}\,.}$ В общем случае упрощение является сложной проблемой, если оно вообще возможно. Следующая формула позволяет произвести упрощение в случае, когда ${\displaystyle R={\sqrt {a^{2}-b^{2}c}}}$ рационально: ${\displaystyle {\sqrt {a\pm b{\sqrt {c}}}}={\sqrt {\frac {a+R}{2}}}\pm {\sqrt {\frac {a-R}{2}}}.}$ Например, ${\displaystyle {\sqrt {a\pm {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}}={\sqrt {\frac {a+b}{2}}}\pm {\sqrt {\frac {a-b}{2}}}\quad (|a|\geq |b|).}$ В частности, для комплексных чисел (${\displaystyle c=-1}$): ${\displaystyle {\sqrt {a+bi}}=\pm \left({\sqrt {\frac {\left|z\right|+a}{2}}}+i\operatorname {sgn}(b){\sqrt {\frac {\left|z\right|-a}{2}}}\right),}$ где ${\displaystyle \left|z\right|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.}$ Бесконечно вложенные радикалы Общие положения В некоторых случаях бесконечно вложенные радикалы могут быть тождественны некоторому рациональному числу, например выражение ${\displaystyle x={\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots }}}}}}}}}$ равно 2. Для того чтобы это увидеть, возведем обе части выражения в квадрат и отнимем 2: ${\displaystyle x^{2}-2={\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots }}}}}}=x}$; ${\displaystyle x^{2}-x-2=0}$; ${\displaystyle x_{1}=2,x_{2}=-1}$. Очевидно, что ${\displaystyle -1}$ не может являться значением исходного радикала. Тривиальные случаи Для квадратного корня: ${\displaystyle {\sqrt {a+b{\sqrt {a+b{\sqrt {a+b{\sqrt {a+b{\sqrt {\cdots }}}}}}}}}}={\frac {b+{\sqrt {b^{2}+4a}}}{2}}}$; Для корня степени ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a+b{\sqrt[{n}]{a+b{\sqrt[{n}]{a+b{\sqrt[{n}]{a+b{\sqrt[{n}]{\cdots }}}}}}}}}}=x,}$ где ${\displaystyle x}$ является решением уравнения ${\displaystyle x^{n}-bx-a=0}$. Нетривиальные случаи Формула Рамануджана: ${\displaystyle x+n+a={\sqrt {ax+(n+a)^{2}+x{\sqrt {a(x+n)+(n+a)^{2}+(x+n){\sqrt {a(x+2n)+(n+a)^{2}+(x+2n){\sqrt {\cdots }}}}}}}}}$ Частные случаи Золотое сечение: ${\displaystyle \phi ={\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {\cdots }}}}}}}}}$ Пластическое число: ${\displaystyle \rho ={\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{\cdots }}}}}}}}}$ Число Пи: ${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\sqrt {\frac {1}{2}}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}}}\cdots }$ Ссылки Weisstein, Eric W. Вложенные радикалы (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. Weisstein, Eric W. Квадратный корень (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. Decreasing the Nesting Depth of Expressions Involving Square Roots (англ.) Simplifying Square Roots of Square Roots (англ.)