Меню Главная Случайная статья Настройки Золотое сечение Материал из https://ru.wikipedia.org 1,6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576 2862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374 8475408807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766 7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788 0675208766 8925017116 9620703222 1043216269 5486262963 1361443814 9758701220 3408058879 5445474924 6185695364 8644492410 4432077134 4947049565 8467885098 7433944221 2544877066 4780915884 6074998871 2400765217 0575179788 3416625624 9407589069 7040002812 1042762177 1117778053 1531714101 1704666599 1466979873 1761356006 7087480710 1317952368 9427521948 4353056783 0022878569 9782977834 7845878228 9110976250 0302696156 1700250464 3382437764 8610283831 2683303724 2926752631 1653392473 1671112115 8818638513 3162038400 5222165791 2866752946 5490681131 7159934323 5973494985 0904094762 1322298101 7261070596 1164562990 9816290555 2085247903 5240602017 2799747175 3427775927 7862561943 2082750513 1218156285 5122248093 9471234145 1702237358 0577278616 0086883829 5230459264 7878017889 9219902707 7690389532 1968198615 1437803149 9741106926 0886742962 2675756052 3172777520 3536139362 Золотое сечение (золотая пропорция, иначе: деление в крайнем и среднем отношении, гармоническое деление) — отношение частей и целого, при котором отношения частей между собой и целого к наибольшей части равны. Такие отношения наблюдаются в природе, открыты в науке и соблюдаются в искусстве. На «золотых отрезках» основываются различные системы и способы пропорционирования в архитектуре. Соотношение двух величин ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$, при котором большая величина относится к меньшей так же, как сумма этих величин к большей, то есть ${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {a+b}{a}}}$, является универсальным. Отсюда название, которое впервые появилось в эпоху Возрождения, в частности в трактате францисканского монаха, математика Луки Пачоли Божественная пропорция (лат. De Divina Proportione (1509 год)), но закономерность подобных отношений была известна гораздо раньше: в Древней Месопотамии, Египте и античной Греции. Исторически в древнегреческой математике золотым сечением именовалось деление отрезка ${\displaystyle AB}$ точкой ${\displaystyle C}$ на две части так, что большая часть относится к меньшей, как весь отрезок к большей: ${\displaystyle {\frac {BC}{AC}}={\frac {AB}{BC}}.}$ Это понятие было распространено не только на отрезки, но и на произвольные величины. Число, равное отношению ${\displaystyle a/b,}$ обычно обозначается прописной греческой буквой ${\displaystyle \Phi }$ (фи), в честь древнегреческого скульптора и архитектора Фидия[2], реже — греческой буквой ${\displaystyle \tau }$ (тау). Из исходного равенства (например, принимая ${\displaystyle AB}$ за 1, ${\displaystyle AC}$ за неизвестную переменную ${\displaystyle y}$ и ${\displaystyle BC}$ за ${\displaystyle x,}$ и решая получившуюся систему уравнений ${\displaystyle x+y=1;\ x/y=1/x}$) получается квадратное уравнение: $${\displaystyle 1+{1 \over x}=x\Longleftrightarrow x^{2}-x-1=0,}$$ а после его решения и два его корня: ${\displaystyle \Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ и ${\displaystyle -{\frac {1}{\Phi }}={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}.}$ Обратное число, обозначаемое строчной буквой ${\displaystyle \varphi }$[2], ${\displaystyle \varphi ={\frac {1}{\Phi }}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}=e^{-0,2i\pi }+e^{0{,}2i\pi }=e^{-0{,}2\ln -1}+e^{0{,}2\ln -1}=(-1)^{-0{,}2}+(-1)^{0{,}2}={\frac {1}{\sqrt[{5}]{-1}}}+{\sqrt[{5}]{-1}}=2{\mathfrak {R}}({\sqrt[{5}]{-1}})\approx 0{,}61803}$ Легко видеть, что ${\displaystyle \varphi =\Phi -1.}$ Число ${\displaystyle \Phi }$ называется также золотым числом. Для практических целей обычно ограничиваются приблизительным значением ${\displaystyle \Phi \approx 1{,}618}$ или ${\displaystyle \Phi \approx 1{,}62.}$ В процентах округлённое значение золотого сечения — это деление некоторой величины в отношении 62 % к 38 %. Золотое сечение имеет множество замечательных свойств (например, ${\displaystyle \Phi }$2 = ${\displaystyle \Phi }$ + 1), но, кроме того, ему приписывают и многие вымышленные свойства[3][4][5]. Содержание 1 История 2 Математические свойства 3 Золотое сечение в физике, геометрии, химии 4 Золотое сечение и гармония в искусстве 4.1 Возможные примеры сознательного использования 5 Золотое сечение в биологии и медицине 6 См. также 7 Примечания 8 Литература 9 Ссылки История В дошедшей до нас античной литературе деление отрезка в крайнем и среднем отношении ( ) впервые встречается в «Началах» Евклида (около 300 лет до н. э.), где оно применяется для построения правильного пятиугольника[6]. Лука Пачоли, современник и друг Леонардо да Винчи, усматривал в этой пропорции «божественную суть», выражающую триединство Бога Отца, Сына и Святого Духа[7]. Неизвестно точно, кто и когда именно впервые ввёл в обращение термин «золотое сечение». Несмотря на то, что некоторые авторитетные авторы связывают появление этого термина с Леонардо да Винчи в XV веке[8] или относят появление этого термина к XVI веку[9], самое раннее употребление этого термина находится у Мартина Ома в 1835 году, а именно в примечании ко второму изданию его книги «Чистая элементарная математика»[10], в котором Ом пишет, что это сечение часто называют золотым сечением (нем. goldener Schnitt). Из текста этого примечания следует, что Ом не придумал этот термин сам[11][12]. Тем не менее, исходя из того, что в первом издании своей книги Ом ещё не употреблял этот термин[13], Роджер Герц-Фишлер делает вывод о том, что этот термин, возможно, появился в первой четверти XIX века[14]. Марио Ливио считает, что он получил популярность в устной традиции около 1830 года.[15] В любом случае именно после Ома термин стал распространён в немецкой математической литературе[16]. Математические свойства ${\displaystyle \Phi }$ — иррациональное алгебраическое число, положительное решение квадратного уравнения ${\displaystyle x^{2}-x-1=0,}$ из которого, в частности, следуют соотношения: ${\displaystyle \Phi ^{2}-\Phi =1,}$ ${\displaystyle \Phi \cdot (\Phi -1)=1.}$ ${\displaystyle \Phi }$ представляется через тригонометрические функции (см. «Тригонометрические константы»): ${\displaystyle \Phi =2\cos {\frac {\pi }{5}}=2\cos 36^{\circ }.}$ ${\displaystyle \Phi =2\sin(3\pi /10)=2\sin 54^{\circ }.}$ Если угол между диагональю и меньшей стороной прямоугольника, относящейся к большей стороне как 1:2, поделить пополам, то по формуле тангенса половинного угла получится соотношение: ${\displaystyle {\frac {1}{\Phi }}=\varphi =\operatorname {tg} \left({\frac {\operatorname {arctg} (2)}{2}}\right)={\frac {2}{1+{\sqrt {1+2^{2}}}}}={\frac {2}{1+{\sqrt {5}}}}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}.}$ ${\displaystyle \Phi }$ представляется в виде бесконечной цепочки квадратных корней: ${\displaystyle \Phi ={\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+\dots }}}}}}}}~.}$ ${\displaystyle \Phi }$ представляется в виде бесконечной цепной дроби ${\displaystyle \Phi =1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\dots }}}}}},}$ подходящими дробями которой служат отношения последовательных чисел Фибоначчи ${\displaystyle {\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}}$. Таким образом, ${\displaystyle \Phi =\lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}.}$ Мера иррациональности ${\displaystyle \Phi }$ равна 2. Отрезав квадрат от прямоугольника, построенного с золотой пропорцией, мы получаем новый, уменьшенный прямоугольник с тем же отношением сторон ${\displaystyle \Phi =a/b,}$ что и у исходного прямоугольника ${\displaystyle \Phi =(a+b)/a.}$ Продолжая отрезать квадраты против часовой стрелки получим согласно рисунку координаты предельной точки ${\displaystyle (a+b){\frac {1}{1-\varphi ^{4}}},\;a{\frac {1-\varphi ^{4}-\varphi ^{5}}{1-\varphi ^{4}}}.}$ Более того, это точка будет лежать на пересечении диагоналей первого и второго прямоугольников. В правильной пятиконечной звезде каждый отрезок делится другим отрезком, пересекающим его, в золотом сечении. На приведённом рисунке отношения красного отрезка к зелёному, зелёного к синему и синего к пурпурному равны ${\displaystyle \Phi .}$ Кроме того, отношение красного отрезка к расстоянию между любыми соседними вершинами звезды, которое равно зелёному отрезку, также равно ${\displaystyle \Phi .}$ Геометрическое построение. Золотое сечение отрезка ${\displaystyle AB}$ можно построить следующим образом: в точке ${\displaystyle B}$ проводят перпендикуляр к ${\displaystyle AB,}$ откладывают на нём отрезок ${\displaystyle BC,}$ равный половине ${\displaystyle AB,}$ на отрезке ${\displaystyle AC}$ откладывают отрезок ${\displaystyle CD,}$ равный ${\displaystyle BC,}$ и наконец на отрезке ${\displaystyle AB}$ откладывают отрезок ${\displaystyle AE,}$ равный ${\displaystyle AD.}$ Тогда: ${\displaystyle \Phi ={\frac {|AB|}{|AE|}}={\frac {|AE|}{|BE|}}.}$ Другой способ построить отрезок, равный по длине числу золотого сечения, — это начертить квадрат ABCD со стороной 1, после этого одну из сторон, например сторону AD, разделить точкой E пополам, так что AE = DE = 1/2, далее от точки B или C до точки E провести гипотенузу треугольника АВЕ или DCE. Согласно теореме Пифагора ${\displaystyle BE=CE={\tfrac {\sqrt {5}}{2}}}$. Затем провести дугу с центром в точке Е от точки В или точки С до прямой, где лежит сторона AD и точка пересечения где будет называться Н. Стороны BE, СЕ и ЕН равны как радиусы окружности. Так как АН = АЕ + ЕН, то отрезок АН длины ${\displaystyle \Phi }$ и будет результатом. Кроме того, поскольку DH = EH – ED, отрезок DH будет иметь длину ${\displaystyle \varphi }$[17]. Отношение диагонали правильного пятиугольника к стороне равно золотому сечению. Значения дробной части чисел ${\displaystyle \Phi ,}$ ${\displaystyle {\frac {1}{\Phi }}}$ и ${\displaystyle \Phi ^{2}}$ одинаковы и равны ${\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}}$. ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{2}{\binom {2n}{n}}}}=2\ln ^{2}\varphi ,}$ где ${\displaystyle {\tbinom {2n}{n}}}$ — биномиальный коэффициент, тогда как ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}{\binom {2n}{n}}}}={\frac {\pi ^{2}}{18}}}$[источник не указан 3524 дня] разложение суммы или разности пятых степеней использует золотое сечение: ${\displaystyle a^{5}\pm b^{5}=(a\pm b)(a^{2}\mp \Phi ab+b^{2})(a^{2}\pm {\frac {1}{\Phi }}ab+b^{2})}$ Золотое сечение в физике, геометрии, химии Золотое число возникает в разных задачах, в том числе в физике. Например, бесконечная электрическая цепь, приведённая на рисунке, имеет общее сопротивление (между двумя левыми концами) ${\displaystyle \Phi \cdot r.}$ Существуют колебательные системы, физические характеристики которых (отношения частот, амплитуд и др.) пропорциональны золотому сечению. Самый простой пример — система из двух шариков равных масс, соединённых последовательно пружинами одинаковой жёсткости (см. рисунок) Золотое сечение тесно связано с симметрией пятого порядка, наиболее известными трёхмерными представителями которой являются додекаэдр и икосаэдр. Можно сказать, что всюду, где в структуре проявляются додекаэдр, икосаэдр или их производные, там в описании будет появляться и золотое сечение. Например, в пространственных группировках атомов бора: В-12, В-50, В-78, В-84, В-90, …, В-1708, имеющих икосаэдрическую симметрию[18]. Молекула воды, у которой угол между связями Н-О равен 104,7°, то есть близок к 108 градусам (равен углу в правильном пятиугольнике), может соединяться в плоские и трехмерные структуры с симметрией пятого порядка. Так, в разреженной плазме был обнаружен ион Н+(Н2O)21, который представляет собой ион Н3O+, окруженный 20 молекулами воды, расположенными в вершинах додекаэдра[19]. В 80-х годах XX века были получены клатратные соединения, содержащие гексааквакомплекс кальция, окруженный 20 молекулами воды, расположенными в вершинах додекаэдра[20]. Есть и клатратные модели воды, в которых обыкновенная вода отчасти состоит из молекул воды, соединённых в структуры с симметрией пятого порядка. Такие структуры могут состоять из 20, 57, 912 молекул воды[21]. Золотое сечение и гармония в искусстве Некоторые из утверждений в доказательство гипотезы знания древними правила золотого сечения: Пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона близки к золотому сечению. По мнению Ле Корбюзье, в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют золотому сечению. В фасаде древнегреческого храма Парфенона также присутствуют золотые пропорции. В циркуле из древнеримского города Помпеи (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления, и т. д. Использование пропорции «золотого сечение» в пропорциях канонов человеческого тела, судя по историческим документам Возможные примеры сознательного использования Начиная с Леонардо да Винчи, многие художники сознательно использовали пропорции «золотого сечения» Иоганн Себастьян Бах в своей трёхголосной инвенции E-dur № 6 BWV 792 использовал двухчастную форму, в которой соотношение размеров частей соответствует пропорциям золотого сечения. 1 часть — 17 тактов, 2 часть — 24 такта (небольшие несоответствия выравниваются за счёт ферматы в 34 такте)[24]. Современными примерами применения золотого сечения может служить мозаика Пенроуза и пропорции государственного флага Того. Золотое сечение в биологии и медицине Живые системы также обладают свойствами, характерными для «золотого сечения». Например: пропорции тел, спиральные структуры (филлотаксис) или параметры биоритмов[25] См. также Божественная пропорция Диагональный метод Золотая спираль Золотой прямоугольник Пифагорейский пентакл Пропорционирование Фибоначчиева система счисления Правило третей Метод золотого сечения Сверхзолотое сечение Пластическое число Золотой угол Канон (искусство) Модулор Числа Фибоначчи Обобщение чисел Фибоначчи Обобщённое золотое сечение Примечания Взята из примера результата компьютерного расчета (1996 года) с гораздо большим числом знаков, чем 1000 Golden ratio 1000 digits Архивная копия от 6 марта 2015 на Wayback Machine 1 2 Савин А. Число Фидия — золотое сечение (рус.) // «Квант» : Научно-популярный физико-математический журнал (издается с января 1970 года). — 1997. — № 6. Архивировано 4 марта 2016 года. Радзюкевич А. В. Красивая сказка о «золотом сечении»  (неопр.). Дата обращения: 22 марта 2012. Архивировано 29 декабря 2011 года. Mario Livio, The Golden Ratio: The Story of Phi, The World’s Most Astonishing Number Devlin’s Angle, The Myth That Will Not Go Away Livio, Mario. The Golden Ratio: The Story of Phi, the World's Most Astonishing Number. — First trade paperback. — New York City : Broadway Books, 2003. — ISBN 978-0-7679-0816-0. Архивная копия от 13 марта 2023 на Wayback Machine Источник  (неопр.). Дата обращения: 10 декабря 2015. Архивировано 13 марта 2023 года. Лаврус В., Золотое сечение  (неопр.). Дата обращения: 18 июля 2004. Архивировано 20 июня 2004 года. Franois Lasserre. The birth of mathematics in the age of Plato. — American Research Council, 1964-01-01. — 200 с. — P. 76. Архивировано 18 июня 2016 года. Herz-Fischler, 2013, p. 168. Livio, 2008, p. 6—7. Herz-Fischler, 2013, p. 169. Livio, 2008, p. 7. Herz-Fischler, 2013, p. 169—170. Holland P. M. Casteiman A. W. A model for the formation and stabilization of chorqed water cluthrates // J. Chem. Phys.. — 1980. — Т. 72, № 1(11). — С. 5984. Andrey Radzyukevich. Миф о "золотом сечении" // Миф о "золотом сечении" : Монография. — 2023. — ISSN 978-5-0060-9409-3. Архивировано 13 декабря 2023 года. Золотой запас зодчества Архивная копия от 29 января 2009 на Wayback Machine Цветков В. Д. Сердце, золотое сечение и симметрия. — Пущино: ПНЦ РАН, 1997. — 170 с.  (неопр.) Дата обращения: 19 февраля 2015. Архивировано 27 сентября 2015 года. Литература на русском языке Аракелян Г. Б. Математика и история золотого сечения. — М.: Логос, 2014, 404 с. — ISBN 978-5-98704-663-0. Бендукидзе А. Д. Золотое сечение Архивная копия от 11 октября 2004 на Wayback Machine «Квант» № 8, 1973. Васютинский Н. А. Золотая пропорция. — М.: Молодая гвардия, 1990. — 238[2]c. — (Эврика). Власов В. Г. Золотое сечение, или Божественная пропорция // Власов В. Г. Новый энциклопедический словарь изобразительного искусства: В 10 т. — Т.3. — СПб.: Азбука-Классика, 2005. — С. 725—732. Власов В. Г. Приемы гармонизации пространства в классической архитектуре // Власов В. Г. Искусство России в пространстве Евразии. — Т.3. Классическое искусствознание и «русский мир». — СПб.: Дмитрий Буланин, 2012. — С. 156—192. Мазель Л. А. Опыт исследования золотого сечения в музыкальных построениях в свете общего анализа форм // Музыкальное образование. — 1930. — № 2. — С. 24—33. Сабанеев Л. Л. Этюды Шопена в освещении закона золотого сечения. Опыт позитивного обоснования законов формы // Искусство. — 1925. — № 2. — С. 132—145; 1927. — № 2—3. — С. 32—56. Шевелев И. Ш. Геометрическая гармония. Опыт исследования пропорциональности в архитектуре (рус.). — Кострома, 1963. — 107 с. Шмигевский Н. В. Формула совершенства // Страна знаний. — 2010. — № 4. — С. 2—7. на других языках Mario Livio. The Golden Ratio: The Story of PHI, the World's Most Astonishing Number. — Crown/Archetype, 2008. — 303 с. — ISBN 9780307485526. Архивировано 31 марта 2019 года. Русский перевод в Марио Ливио. – Число Бога. Золотое сечение – формула мироздания. — Litres, 2015-04-17. — 481 с. — ISBN 9785457762732. Архивировано 24 июня 2016 года. Roger Herz-Fischler. A Mathematical History of the Golden Number. — Courier Corporation, 2013. — 228 с. — ISBN 9780486152325. Архивировано 2 июля 2016 года. Ссылки Белянин В. С., «Владел ли Платон кодом золотой пропорции? Анализ мифа» Радзюкевич А. В., К вопросу о научном изучении пропорций в архитектуре и искусстве Архивная копия от 3 апреля 2015 на Wayback Machine. Радзюкевич А. В., Критический анализ Адольфа Цейзинга — основоположника гипотезы «золотого сечения». Архивная копия от 19 декабря 2014 на Wayback Machine Статья о золотом сечении в изобразительном искусстве, Золотое сечение в изобразительном искусстве J. J. O'Connor, E. F. Robertson. Golden ratio  (неопр.). MacTutor History of Mathematics archive. School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland. Дата обращения: 13 ноября 2015. Архивировано 25 июля 2015 года. Функция Фибоначчи Архивная копия от 30 октября 2020 на Wayback Machine в Wolfram alpha