Меню Главная Случайная статья Настройки Вписанная окружность Материал из https://ru.wikipedia.org Окружность называют вписанной в угол, если она лежит внутри угла и касается его сторон. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла. Окружность называется вписанной в выпуклый многоугольник, если она лежит внутри данного многоугольника и касается всех его сторон. Содержание 1 Окружность, вписанная в угол 2 Окружность, вписанная в многоугольник общего вида 2.1 Условия существования вписанной окружности в многоугольник 2.2 Площадь описанного многоугольника и формула радиуса 2.3 Задание описанного многоугольника длинами сторон 2.4 Задание описанного многоугольника отрезками касательных 3 В треугольнике 4 Связь вписанной и описанной окружностей 5 Связь центра вписанной окружности и середин высот треугольника 6 В четырёхугольнике 7 В сферическом треугольнике 8 Обобщения 9 См. также 10 Примечания 11 Литература Окружность, вписанная в угол Пусть окружность с центром O вписана в угол A, то есть лежит внутри этого угла и касается его сторон в некоторых точках B и C. Поскольку OB и OС - радиусы, проведённые к точкам касания, они равны и являются перпендикулярами, опущенными из точки O к соответствующим сторонам. Отсюда следует: Радиус окружности, вписанной в угол, равен расстоянию от её центра до любой из сторон угла; Центр вписанной в угол окружности равноудалён от сторон угла на расстояние радиуса; Образующиеся треугольники ${\displaystyle \triangle CAO}$ и ${\displaystyle \triangle BAO}$ прямоугольны и равны (по общей гипотенузе OA, и равным катетам OC и OB). Из равенства этих треугольников следует, что: Отрезки касательных равны: ${\displaystyle AB=AC}$; Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе: ${\displaystyle \angle CAO=\angle BAO}$. Из прямоугольности треугольников также следует, что Угол, в который может быть вписана окружность, должен быть меньше 180 градусов (${\displaystyle \angle A=\angle BAO+\angle CAO<90^{\circ }+90^{\circ }=180^{\circ }}$). Через радиус ${\displaystyle r}$ и угол ${\displaystyle \alpha =\angle A}$ выражаются: Расстояние от вершины угла до центра окружности: ${\displaystyle AO={\frac {r}{\sin {\frac {\alpha }{2}}}}}$; Отрезки касательных: ${\displaystyle AB=AC={\frac {r}{\rm {{tg}{\frac {\alpha }{2}}}}}}$. Помимо обычной тригонометрии, в данной ситуации также бывает полезной следующая формула, связывающая величину угла ${\displaystyle \alpha }$, величину центрального угла между точками касания ${\displaystyle \beta =\pi -\alpha }$, радиус ${\displaystyle r}$ и отрезок касательной ${\displaystyle t=AB}$: ${\displaystyle e^{i\alpha }={\frac {t+ri}{t-ri}}}$, ${\displaystyle \quad e^{i\beta }={\frac {r+ti}{r-ti}}}$, где ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$ - мнимая единица. Введём прямоугольную систему координат, направив ось x вдоль луча AB, а ось y - через точку A сонаправленно отрезку BO. Тогда точка O будет иметь комплексную координату ${\displaystyle t+ir}$, и поскольку она лежит на биссектрисе угла A, то ${\displaystyle t+ir=|AO|e^{i{\frac {\alpha }{2}}}}$. Применим комплексное сопряжение: ${\displaystyle t-ir=|AO|e^{-i{\frac {\alpha }{2}}}}$. Деля первую формулу на вторую, получим искомое равенство для ${\displaystyle \alpha }$. Уравнение для ${\displaystyle \beta }$ получается аналогично. Замечание. При использовании в геометрии комплексных чисел следует иметь в виду, что во всех формулах комплексного анализа углы всегда считаются ориентированными, а в геометрии - обычно нет, что иногда приводит к недоразумениям. Указанная выше формула применима к ориентированному углу ${\displaystyle \alpha }$, только если ${\displaystyle \sin \alpha >0}$. В противном случае ${\displaystyle \alpha }$ в формуле следует заменить на ${\displaystyle -\alpha }$. Чтобы вписать окружность в заданный угол, нужно в качестве центра (если он не задан) выбрать любую точку на биссектрисе этого угла и опустить из неё перпендикуляры на стороны. В качестве радиуса окружности следует взять длину любого из полученных перпендикуляров. Если центр не задан, вписываемая окружность не единственна. Окружность, вписанная в многоугольник общего вида Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон. В этом случае окружность обязательно находится внутри многоугольника. В ситуации, когда окружность касается всех прямых, содержащих стороны, но не самих сторон, окружность находится вне многоугольника и называется вневписанной в него. Многие свойства вписанных и вневписанных окружностей перекликаются между собой, если не совпадают полностью. Многоугольник, в который вписана окружность, называется описанным около этой окружности, или, кратко - описанным. Чтобы построить произвольный описанный n-угольник, нужно нарисовать окружность, выбрать на ней произвольно n точек, в каждой из которых провести касательную (прямую, перпендикулярную радиусу, проведённому к этой точке). Отрезки касательных, заключённые между их пересечениями с соседними касательными с каждой стороны, составят контур n-угольника, описанного около исходной окружности. Одним из примеров n-угольника для любого n, в который можно вписать окружность, является правильный многоугольник, когда точки на окружности выбираются равномерно. Условия существования вписанной окружности в многоугольник Если в данный многоугольник можно вписать окружность, она будет вписана в каждый внутренний угол этого многоугольника (см. Окружность, вписанная в угол), значит, каждый внутренний угол должен быть меньше 180 градусов, что влечёт за собой выпуклость многоугольника. Вопрос о существовании вписанной окружности в многоугольник равносилен вопросу о существовании точки, равноудалённой от всех его сторон. Такая точка, если есть, будет центром вписанной окружности, а расстояние от неё до сторон - радиусом. Поскольку окружность вписанная в многоугольник, вписана в каждый его внутренний угол, то центр окружности находится на биссектрисах всех углов этого многоугольника (то есть, на их пересечении). Верно и обратное: общая точка всех биссектрис (если она есть) равноудалена от сторон многоугольника и является центром вписанной в него окружности. Вследствие этого, критерий существования вписанной окружности таков: в многоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда все его биссектрисы пересекаются в одной точке. (Очевидно, для этого достаточно, чтобы для любых трёх последовательных углов этого многоугольника их биссектрисы пересекались в одной точке.) Поскольку у биссектрис не может быть более одной общей точки, это означает, что вписанная в многоугольник окружность, если есть, может быть только одна. Соответственно, точек, равноудалённых от всех сторон многоугольника тоже может быть не более одной. Только в треугольники всегда может быть вписана окружность, независимо от их конкретного вида. Для 4-угольников это уже не так: например, чтобы в прямоугольник можно было вписать окружность, он обязан быть квадратом. Вообще, чтобы в 4-угольник можно было вписать окружность, в нём необходимо и достаточно выполнение одного соотношения: суммы длин противоположных сторон должны совпадать. Для n-угольников число таких независимых соотношений, обеспечивающих его описанность, возрастает до n-3. Площадь описанного многоугольника и формула радиуса Отрезки, соединяющие центр описанного n-угольника с его вершинами, разбивают его на n треугольников, каждый из которых содержит ровно одну сторону исходного многоугольника, вершина, лежащая напротив, является центром вписанной окружности, а высота, опущенная из неё к этой стороне, совпадает с радиусом вписанной окружности. Поэтому площадь k-ого треугольника будет равна: ${\displaystyle S_{k}=ra_{k}/2}$, а общая площадь, соответственно составит ${\displaystyle S=S_{1}+S_{2}+\dots +S_{n}=r(a_{1}+a_{2}+\dots +a_{n})/2}$, ${\displaystyle S=rp}$, где ${\displaystyle p=(a_{1}+a_{2}+\dots +a_{n})/2}$ - полупериметр (половина периметра) многоугольника. Следствие 1. Радиус вписанной окружности равен отношению площади многоугольника ${\displaystyle S}$ к полупериметру ${\displaystyle p}$: ${\displaystyle r={\frac {S}{p}}}$. Следствие 2. С помощью предельного перехода получается одно из наиболее важных следствий этой формулы - формула площади круга: ${\displaystyle S=\pi r^{2}}$. Для её получения нужно описанный многоугольник равномерно обрезать по касательным к окружности бесконечно много раз. Тогда его площадь будет стремиться к площади круга, а полупериметр - к полупериметру круга ${\displaystyle p=\pi r}$. Формулу площади можно слегка обобщить: Любые два луча из центра описанной окружности вырезают из описанного многоугольника фигуру, площадь которой равна ${\displaystyle S=rl}$, где ${\displaystyle l}$ - длина той части контура исходного многоугольника, которая заключена между этими лучами. Таким образом, чтобы разрезать описанный многоугольник на m равных по площади частей, достаточно его периметр поделить m точками на равные по длине части и их соединить радиусами с центром вписанной окружности. Задание описанного многоугольника длинами сторон Основной вопрос этой темы: каким условиям должны удовлетворять числа ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}}$, чтобы существовал описанный многоугольник с такими длинами сторон, и насколько однозначно восстановление описанного многоугольника по длинам сторон? Необходимое условие для существования очевидно. Если требуемый многоугольник существует, то должно быть ${\displaystyle {\begin{cases}a_{1}=t_{1}+t_{2}\\a_{2}=t_{2}+t_{3}\\\dots \\a_{n}=t_{n}+t_{1}\end{cases}}}$ где ${\displaystyle t_{1},t_{2},\dots ,t_{n}}$ - отрезки касательных, проведённых из вершин к вписанной окружности. Поэтому эта система с заданными параметрами ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}}$ должна иметь решение в положительных числах ${\displaystyle t_{1},t_{2},\dots ,t_{n}}$. На самом деле, это условие не только необходимо, но и достаточно для существования описанного многоугольника с заданными длинами сторон. Случай нечётного n. В случае нечётного числа сторон n линейная система не вырождена и имеет единственное решение: ${\displaystyle {\begin{cases}2t_{1}=a_{1}-a_{2}+a_{3}-a_{4}+\dots -a_{n-1}+a_{n}\\2t_{2}=a_{2}-a_{3}+a_{4}-a_{5}+\dots -a_{n}+a_{1}\\\dots \\2t_{n}=a_{n}-a_{1}+a_{2}-a_{3}+\dots -a_{n-2}+a_{n-1}\end{cases}}}$ Поэтому для разрешимости системы в положительных числах необходимо наложить условие, чтобы все альтернированные суммы в правых частях этих равенств были бы положительными. Например, для описанного треугольника с требуемыми сторонами ${\displaystyle a,b,c}$ все эти условия превращаются просто в неравенство треугольника: ${\displaystyle a-b+c>0,\,b-c+a>0,\,c-a+b>0}$. Таким образом, в случае нечётного числа сторон, описанный n-угольник с заданными сторонами существует и единствен (с точностью до равенства), если только все указанные выше альтернированные суммы сторон положительны. Случай чётного n. В случае чётного числа сторон n линейная система вырождена, уравнения линейно зависимы, и для разрешимости в числах любого знака требуется одно линейное соотношение - полная альтернированная сумма длин всех сторон должна быть равна нулю: ${\displaystyle a_{1}-a_{2}+a_{3}-\dots +a_{n-1}-a_{n}=0}$. При этом сами числа ${\displaystyle t_{1},t_{2},\dots ,t_{n}}$ однозначно найти нельзя, однако можно найти их суммы ${\displaystyle t_{k}+t_{m}}$, если k и m разной чётности: ${\displaystyle {\begin{cases}t_{1}+t_{2}=a_{1}\\t_{1}+t_{4}=a_{1}-a_{2}+a_{3}\\t_{1}+t_{6}=a_{1}-a_{2}+a_{3}-a_{4}+a_{5}\\\dots \,\dots \,\dots \\t_{2}+t_{3}=a_{2}\\t_{2}+t_{5}=a_{2}-a_{3}+a_{4}\\t_{2}+t_{7}=a_{2}-a_{3}+a_{4}-a_{5}+a_{6}\\\dots \,\dots \,\dots \\\end{cases}}}$ В случае чётного числа сторон, описанный n-угольник с заданными сторонами существует, если полная альтернированная сумма длин всех сторон равна нулю, а все указанные выше неполные альтернированные суммы сторон положительны. При этом описанный n-угольник с требуемыми сторонами не будет единственным, для него останется одна степень свободы. Таким образом, задание описанного многоугольника длинами сторон, когда их количество чётно, не является удовлетворительным. Задание описанного многоугольника отрезками касательных В отличие от задания описанного много угольника длинами сторон, задание с помощью отрезков касательных гораздо эффективнее и удобнее. Основной результат состоит в том, что: При любых положительных значениях ${\displaystyle t_{1},t_{2},\dots ,t_{n}}$ всегда существует и единствен (с точностью до равенства) описанный n-угольник, для которого эти числа являются длинами отрезков касательных в указанном порядке.