Меню Главная Случайная статья Настройки Неравенство треугольника Материал из https://ru.wikipedia.org Неравенство треугольника в геометрии, функциональном анализе и смежных дисциплинах — это одно из интуитивных свойств расстояния. Оно утверждает, что длина любой стороны треугольника всегда не превосходит сумму длин двух его других сторон[1] (или равносильная формулировка — длина наибольшей стороны не больше суммы длин двух других сторон[2]). Содержание 1 Евклидова геометрия 2 Нормированное пространство 2.1 Гильбертово пространство 3 Метрическое пространство 4 Вариации и обобщения 4.1 Обратное неравенство треугольника 4.2 Неравенство треугольника для трёхгранного угла 4.3 Произвольное число точек 5 См. также 6 Примечания 7 Литература Евклидова геометрия Неравенство ${\displaystyle AC\leqslant AB+BC,}$ выполняется в любом треугольнике ${\displaystyle \triangle ABC}$[3]. Причём равенство ${\displaystyle AC=AB+BC}$ достигается только тогда, когда треугольник вырожден, и точка ${\displaystyle B}$ лежит на отрезке ${\displaystyle AC}$. Евклид в Началах доказывает неравенство треугольника следующим образом. Сначала доказывается теорема о том, что внешний угол треугольника больше внутреннего угла, с ним не смежного. Из неё выводится теорема о том, что против большей стороны треугольника лежит больший внутренний угол. Далее, методом от противного доказывается теорема о том, что против большего внутреннего угла треугольника лежит большая сторона. А из этой теоремы выводится неравенство треугольника. Нормированное пространство Пусть ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ — нормированное векторное пространство, где ${\displaystyle X}$ — произвольное множество, а ${\displaystyle \|\cdot \|}$ — определённая на ${\displaystyle X}$ норма. Тогда по определению последней справедливо: ${\displaystyle \|x+y\|\leqslant \|x\|+\|y\|,\quad \forall x,y\in X.}$ Гильбертово пространство В гильбертовом пространстве, неравенство треугольника является следствием неравенства Коши — Буняковского. Метрическое пространство Пусть ${\displaystyle (X,\rho )}$ — метрическое пространство, где ${\displaystyle X}$ — произвольное множество, а ${\displaystyle \rho }$ — определённая на ${\displaystyle X}$ метрика. Тогда по определению последней ${\displaystyle \rho (x,y)\leqslant \rho (x,z)+\rho (z,y),\quad x,y,z\in X.}$ Вариации и обобщения ${\displaystyle d(x,z)\leqslant \max(d(x,y),d(y,z))}$ Сильное неравенство треугольника Обратное неравенство треугольника Следствием неравенства треугольника в нормированном и метрическом пространствах являются следующие неравенства: ${\displaystyle {\bigl |}\|x\|-\|y\|{\bigr |}\leqslant \|x-y\|,\quad x,y\in X;}$ ${\displaystyle |\rho (x,y)-\rho (x,z)|\leqslant \rho (y,z),\quad x,y,z\in X.}$ Неравенство треугольника для трёхгранного угла Каждый плоский угол выпуклого трёхгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов. Произвольное число точек Обозначим ${\displaystyle \rho (x_{i},x_{j})}$ расстояние между точками ${\displaystyle x_{i}}$ и ${\displaystyle x_{j}}$. Тогда имеет место следующее неравенство: ${\displaystyle \rho (x_{1},x_{m})\leqslant \rho (x_{1},x_{2})+\rho (x_{2},x_{3})+...+\rho (x_{m-1},x_{m})}$. Оно получается последовательным применением неравенства треугольника для трех точек: ${\displaystyle \rho (x_{1},x_{m})\leqslant \rho (x_{1},x_{2})+\rho (x_{2},x_{m})\leqslant \rho (x_{1},x_{2})+\rho (x_{2},x_{3})+\rho (x_{3},x_{m})\leqslant ...}$[4] См. также Неравенство четырёхугольника Теорема о внешнем угле треугольника Примечания Шилов, 1961, с. 29. Шилов, 1961, с. 26. Шилов, 1961, с. 25. Шилов, 1961, с. 28. Литература Шилов Г. Е. Математический анализ. Специальный курс. — Физматлит, 1961. — 436 с.