Меню Главная Случайная статья Настройки Выпуклая кривая Материал из https://ru.wikipedia.org Выпуклая кривая — кривая на евклидовой плоскости, которая лежит по одну сторону от любой касательной прямой. Граница ограниченного выпуклого множества всегда является выпуклой кривой. Содержание 1 Определения 1.1 Определение с помощью опорных прямых 1.2 Определение с помощью выпуклых множеств 1.3 Строго выпуклая кривая 2 Свойства 2.1 Параллельные касательные 2.2 Монотонность угла наклона 3 Связанные фигуры 4 См. также 5 Примечания Определения Определение с помощью опорных прямых Любая прямая ${\displaystyle L}$ делит евклидову плоскость на две полуплоскости, в объединении дающие всю плоскость, а пересечение которых совпадает с ${\displaystyle L}$, кривая ${\displaystyle C}$ «лежит по одну сторону от ${\displaystyle L}$», если она полностью содержится в одной из этих полуплоскостей. Плоская кривая называется выпуклой, если она лежит по одну сторону от любой её касательной прямой[1]. Другими словами, выпуклая кривая является кривой, которая имеет опорную прямую в каждой точке кривой. Определение с помощью выпуклых множеств Выпуклую кривую можно определить как границу выпуклого множества евклидовой плоскости. Это означает, что выпуклая кривая всегда замкнута (то есть не имеет конечных точек)[2]. Иногда используется более слабое определение, в котором выпуклая кривая является подмножеством границы выпуклого множества. В этом варианте выпуклая кривая может иметь конечные точки. Строго выпуклая кривая Строго выпуклая кривая — выпуклая кривая, не содержащая отрезков. Эквивалентно, строго выпуклая кривая — это кривая, которая пересекает любую прямую максимум в двух точках[3][4], или простая замкнутая кривая в выпуклой позиции[англ.], что означает, что никакая точка кривой не может быть представлена в виде выпуклой комбинации любого другого подмножества её точек. Свойства Любая выпуклая кривая имеет хорошо определённую конечную длину. Таким образом, выпуклая кривая является подмножеством спрямляемых кривых[2]. Согласно теореме о четырёх вершинах любая кривая имеет по меньшей мере четыре вершины, точки, в которых достигается локальный минимум или максимум кривизны[4][5]. Параллельные касательные Замкнутая кривая ${\displaystyle C}$ является выпуклой в том и только в том случае, когда не существует трёх различных точек на кривой ${\displaystyle C}$, таких, что касательные в этих точках параллельны. Монотонность угла наклона Кривая называется простой, если она не пересекает себя. Замкнутая регулярная плоская простая кривая ${\displaystyle C}$ выпукла тогда и только тогда, когда её кривизна либо всегда положительна, либо всегда отрицательна. То есть, её угол наклона (угол касательной к кривой по отношению к оси) является слабо монотонной функцией параметризации кривой[1]. Связанные фигуры Гладкие выпуклые кривые с осевой симметрией иногда называют овалами[6]. Однако в конечной проективной геометрии овалы[англ.] определяются как множества, в которых любая точка имеет единственную касательную, что в евклидовой геометрии верно в случае гладких строго выпуклых замкнутых кривых. См. также Список тем по выпуклости[англ.] Примечания 1 2 A. Gray. Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces. — 2nd. — New-York: CRC Press, 1997. — С. 163-165. — ISBN 0849371643. 1 2 1 2 D. DeTruck, H. Gluck, D. Pomerleano, D.S. Vick. The four vertex theorem and its converse // Notices of the American Mathematical Society. — 2007. — Т. 54, вып. 2. — С. 9268. — . — arXiv:math/0609268.