Меню

Главная
Случайная статья
Настройки
Полупространство
Материал из https://ru.wikipedia.org

Полупространство — множество всех точек трёхмерного пространства, которые находятся по одну сторону от некоторой плоскости в пространстве[1][2][3], то есть по ту же сторону, что и некоторая заданная точка вне плоскости[3]. Эта плоскость определяет полупространство[4] и является её границей[1][2][3], а полупространство исходит из своей границы[5], или просто полупространство от границы[6].

В некоторых источниках граница полупространства ему принадлежит, то есть полупространство замкнуто[7][8][9].

Замкнутое полупространство — полупространство со своей границей[1][2].

Полупространство есть неограниченная область, так как оно есть открытое множество[10] и неограниченное выпуклое множество[11].

Другое название полупространства — одногранник, это простейший трёхмерный выпуклый многогранник[12].

Содержание

Определение полупространства

Геометрическое определение

Полупространство — множество всех точек трёхмерного пространства, которые находятся по ту же сторону от некоторой плоскости , что и некоторая заданная точка вне плоскости, то есть полупространство — это точка и множество всех точек таких, что отрезок не имеет общих точек с плоскостью [13][14]. Эта плоскость определяет полупространство[4] и является её границей[1][2][3].

Теорема 1. Произвольная плоскость в трёхмерном пространстве делит это пространство на две полупространства. Более формально: в пространстве существуют точки и вне плоскости такие, что разные полупространства, которым принадлежат эти точки, заполняют с плоскостью всё пространство и имеют своими границами [13].

Положительное полупространство — выбранное одно из двух полупространств с общей границей, второе полупространство называется отрицательным. При этом граничная плоскость имеет выбранную сторону со стороны положительного полупространства[15].

Теорема 2. Среди трёх объектов, определяющих ориентацию:

любые два однозначно определяют третий[16].

Обоснование определения

Обоснуем геометрическое определение трёхмерного полупространства в . Рассмотрим произвольную плоскость, заданную следующим уравнением[17]:
.


Точки, неразделённые плоскостью — две точки и вне плоскости , , которые либо совпадают, , либо отрезок не имеет общих точек с плоскостью , [17].

Предложение 1. Две точки и вне плоскости , , неразделены тогда и только тогда, когда не равные нулю числа и одного знака[17].

Положим без ограничения общности, что . Тогда прямая задаётся координатными параметрическими уравнениями
,
,
.


Найдём пересечение прямой с плоскостью . Для этого подставим эти выражения координат в уравнение плоскости , получим:
,


(если , то прямая и плоскость параллельны).

Итак, точки и разделены плоскостью тогда и только тогда, когда и
.


Последние неравенства верны для произвольных точек и только в двух случаях:
  • , , ;
  • , , .


Получаем, что в обоих случаях числа и разных знаков. Следовательно, отрезок и плоскость не пересекаются тогда и только тогда, когда и одного знака.

Следствие 1. Описанное выше отношение неразделённости точек плоскостью есть отношение эквивалентности, причём соответствующих классов эквивалентности ровно два[14].

Полупространство — класс эквивалентности отношения неразделённости точек некоторой плоскостью. Эта плоскость определяет полупространство[14].

Примеры полупространств

Рассмотрим два чисто математических примера[18].

Набор всех кругов на плоскости образует трёхмерное многообразие, потому что в нём любой круг с центром и радиусом изображается точкой с координатами . А поскольку радиус круга — это положительное число, то набор рассматриваемых точек заполнит «верхнее» полупространство[18].

Точно так же набор всех сфер в обыкновенном трёхмерном пространстве образует четырёхмерное многообразие, потому что в нём любая сфера с центром и радиусом представляется точкой с координатами . А поскольку радиус круга — это положительное число, то набор рассматриваемых точек заполнит «верхнее» полупространство[18].
  • Полупространства
  • Все круги на плоскости образуют трёхмерное полупространство с координатами
  • Все сферы в трёхмерном пространстве образуют четырёхмерное полупространство с координатами


Аналитическое определение полупространства

Декартовы координаты

В общем трёхмерном случае в пространстве с декартовыми координатами координаты точек -мерного полупространства отвечают следующему неравенству, использующим общее уравнение плоскости
,


где  — постоянные, причём , и одновременно не равны нулю[1][2][4].

Граница полупространства — плоскость, определяющая полупространство. В определении это плоскость
[1][2].


Обычно рассматриваются следующие частные случаи полупространств[19]:
  • координатная плоскость имеет уравнение с аппликатой и разделяет трёхмерное пространство на два полупространства и с границей ;
  • координатная плоскость имеет уравнение с ординатой и разделяет трёхмерное пространство на два полупространства и с границей ;
  • координатная плоскость имеет уравнение с абсциссой и разделяет трёхмерное пространство на два полупространства и с границей ;


Перейдём к -мерному пространству с декартовыми координатами . Здесь координаты точек -мерного полупространства отвечают следующему неравенству, использующим общее уравнение гиперплоскости
,


где  — постоянные, причём одновременно не равны нулю[4].

Обычно рассматриваются следующие частные случаи полупространств[9]:


с границами


Векторное пространство

В векторной нотации уравнение полупространства с границей, проходящей через заданную точку , записывается через скалярное произведение векторов как
,


или
,


где — произвольный ненулевой вектор, параллельный нормали к полуплоскости


в точке , приячём вектор направлен от точки в сторону полупространства. Указанная полуплоскость есть граница полупространства[20].

Банахово пространство

Полупространство банахова пространства — одно из множеств точек
,
,


где — банахово пространство, а — непрерывное линейное отображение (функционал на ), при этом ядро линейного отображения , на котором , называется гиперплоскостью банахова пространства [8].

Теорема 1. Если — другой функционал, причём , то найдётся такое число , , что [8].

Доказательство. Ядра и совпадают как границы совпадающих полуплоскостей. Пусть теперь , и положим , . Тогда и , так как полуплоскости совпадают. Сконструируем функционал
,


который обращается в нуль как на ядрах функционалов и , так и на векторе . Следовательно, этот функционал тождественно равен нулю и [8].

Верхнее полупространство Зигеля

Обобщённая верхняя полуплоскость Зигеля[21] (просто верхняя полуплоскость Зигеля[22], или верхнее полупространство Зигеля[англ.][23][24]) — область в пространстве комплексных симметричных матриц порядка , образованная квадратными матрицами, мнимая часть которых положительно определена[22].

Верхнее полупространство Зигеля есть одна из разновидностей область Зигеля первого рода, ассоциированная с конусом положительно определённых симметричных матриц порядка . При верхнее полупространство Зигеля совпадает с обычной комплексной верхней полуплоскостью[22].

Источники
  1. 1 2 3 4 5 6 Полупространство. БСЭ 3, 1975.
  2. 1 2 3 4 5 6 Полупространство. МЭС, 1988.
  3. 1 2 3 4 Рохлин В. А. Площадь и объём, 1966, 2.1. Внутренние, внешние и граничные точки, с. 13—14, 65.
  4. 1 2 3 4 Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика?, 2015, Глава IV. Проективная геометрия… Приложение…, с. 255.
  5. Киселёв М. А. Элементарная геометрия, 1980, 304. Определения, с. 182.
  6. Понарин Я. П. Планиметрия, преобразования плоскости, 2004, 12.2. Следствия из общих формул площади четырехугольника, с. 91.
  7. Рохлин В. А. Площадь и объём, 1966, 7.2. Класс многогранных тел, с. 67.
  8. 1 2 3 4 Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий, 1967, Глава II. Многообразия. Приложение. Многообразия с краем, с. 50.
  9. 1 2 Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии, 2000, Глава 4. Гладкие многообразия (примеры). § 5. Классификация двумерных поверхностей, с. 253.
  10. Рохлин В. А. Площадь и объём, 1966, 2.2. Открытые и замкнутые множества, с. 16.
  11. Болтянский В. Г., Яглом И. М. Выпуклые фигуры и тела, 1966, 1.1. Определение. Примеры, с. 182.
  12. Болтянский В. Г., Яглом И. М. Выпуклые фигуры и тела, 1966, 3.2. Выпуклые многосторонники и многогранники, с. 212.
  13. 1 2 Розенфельд Б. А. Аксиомы и основные понятия геометрии, 1963, 6.3. Аксиомы порядка, с. 36.
  14. 1 2 3 4 Постников М. М. Лекции по геометрии. 1. Аналитическая геометрия, 1979, Лекция 10. Полупространтва…, с. 81.
  15. Постников М. М. Аналитическая геометрия, 1973, Глава 1. Векторное исчисление. §* 4.4. Стороны…, с. 70.
  16. Постников М. М. Лекции по геометрии. 1. Аналитическая геометрия, 1979, Лекция 11. Формулы преобразования…, с. 103.
  17. 1 2 3 Постников М. М. Лекции по геометрии. 1. Аналитическая геометрия, 1979, Лекция 10. Полупространтва…, с. 80.
  18. 1 2 3 Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика?, 2015, Глава IV. Проективная геометрия… Приложение…, с. 256.
  19. Постников М. М. Аналитическая геометрия, 1973, Глава 2. Метод координат. §* 1.1. Аффинные координаты, с. 168.
  20. Владимиров В. С. Методы теории функций многих комплексных переменных, 1964, 13.1. Определение выпуклой области, с. 131.
  21. Пятецкий-Шапиро И. И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций, 1961, § 1.3. Области Зигеля 1-го рода, с. 18.
  22. 1 2 3 Винберг Э. Б. Зигеля область, 1979.
  23. Jaap Korevaar, Jan Wiegerinck. Several complex variables, 2011, Exercise 5.19, p. 103.
  24. Steven G. Krantz. Function Theory of Several Complex Variables, 1951, 2 Subharmonicityand Its Applications. Exercises, p. 112.


Литература

Дополнительная литература
Downgrade Counter