Меню Главная Случайная статья Настройки Гамма-распределение Материал из https://ru.wikipedia.org Гамма-распределение в теории вероятностей — это двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Если параметр ${\displaystyle k}$ принимает целое значение, то такое гамма-распределение также называется распределением Эрланга. Содержание 1 Определение 2 Моменты 3 Свойства гамма-распределения 4 Связь с другими распределениями 5 Моделирование гамма-величин 6 Примечания 7 Литература Определение Пусть распределение случайной величины ${\displaystyle X}$ задаётся плотностью вероятности, имеющей вид ${\displaystyle f_{X}(x)=\left\{{\begin{matrix}x^{k-1}{\frac {e^{-x/\theta }}{\theta ^{k}\,\Gamma (k)}},&x\geq 0\\0,&x<0\end{matrix}}\right.,}$ где ${\displaystyle \Gamma (k)}$ — гамма-функция Эйлера. Тогда говорят, что случайная величина ${\displaystyle X}$ имеет гамма-распределение с положительными параметрами ${\displaystyle \theta }$ и ${\displaystyle k}$. Пишут ${\displaystyle X\thicksim \Gamma (k,\theta )}$. Замечание. Иногда используют другую параметризацию семейства гамма-распределений. Или вводят третий параметр — сдвиг. Моменты Математическое ожидание и дисперсия случайной величины ${\displaystyle X}$, имеющей гамма-распределение, имеют вид ${\displaystyle \mathbb {E} [X]=k\theta }$, ${\displaystyle \mathbb {D} [X]=k\theta ^{2}}$. Свойства гамма-распределения Если ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ — независимые случайные величины, такие что ${\displaystyle X_{i}\sim \Gamma (k_{i},\theta ),\;i=1,\ldots ,n}$, то ${\displaystyle Y=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}\sim \Gamma \left(\sum _{i=1}^{n}k_{i},\theta \right)}$. Если ${\displaystyle X\thicksim \Gamma (k,\theta )}$, и ${\displaystyle a>0}$ — произвольная константа, то ${\displaystyle aX\thicksim \Gamma (k,a\theta )}$. Гамма-распределение бесконечно делимо. Связь с другими распределениями Гамма-распределение является распределением Пирсона типа III[2]. Экспоненциальное распределение является частным случаем гамма-распределения: ${\displaystyle \Gamma (1,1/\lambda )\equiv \mathrm {Exp} (\lambda )}$. Если ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{k}}$ — независимые экспоненциальные случайные величины, такие что ${\displaystyle X_{i}\sim \mathrm {Exp} (\lambda ),\;i=1,\ldots ,k}$, то ${\displaystyle Y=\sum \limits _{i=1}^{k}X_{i}\sim \Gamma (k,1/\lambda )}$. Распределение хи-квадрат является частным случаем гамма-распределения: ${\displaystyle \Gamma \left({\frac {n}{2}},2\right)\equiv \chi ^{2}(n)}$. Согласно центральной предельной теореме, при больших ${\displaystyle k}$ гамма-распределение может быть приближено нормальным распределением: ${\displaystyle \Gamma (k,\theta )\approx \mathrm {N} (k\theta ,k\theta ^{2})}$ при ${\displaystyle k\to \infty }$. Если ${\displaystyle X_{1},X_{2}}$ — независимые случайные величины, такие что ${\displaystyle X_{i}\sim \Gamma (k_{i},1),\;i=1,2}$, то ${\displaystyle {\frac {X_{1}}{X_{1}+X_{2}}}\sim \mathrm {\mathrm {B} } (k_{1},k_{2})}$. Естественным обобщением гамма-распределения является усеченное гамма-распределение. Моделирование гамма-величин Учитывая свойство масштабирования по параметру , указанное выше, достаточно смоделировать гамма-величину для = 1. Переход к другим значениям параметра осуществляется простым умножением. Используя тот факт, что распределение ${\displaystyle \Gamma (1,1)}$ совпадает с экспоненциальным распределением, получаем, что если U — случайная величина, равномерно распределённая на интервале (0, 1], то ${\displaystyle {-\ln U}\sim \Gamma (1,1)}$. Теперь, используя свойство k-суммирования, обобщим этот результат: ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{-\ln U_{i}}\sim \Gamma (n,1),}$ где Ui — независимые случайные величины, равномерно распределённые на интервале (0, 1]. Осталось смоделировать гамма-величину для 0 < ${\displaystyle \delta }$ < 1 и ещё раз применить свойство k-суммирования. Это является самой сложной частью. Ниже приведён алгоритм без доказательства. Он является примером выборки с отклонением. Положить m равным 1. Сгенерировать ${\displaystyle V_{2m-1}}$ и ${\displaystyle V_{2m}}$ — независимые случайные величины, равномерно распределённые на интервале (0, 1]. Если ${\displaystyle V_{2m-1}\leq v_{0}}$, где ${\displaystyle v_{0}={\frac {e}{e+\delta }}}$, перейти к шагу 4, иначе к шагу 5. Положить ${\displaystyle \xi _{m}=\left({\frac {V_{2m-1}}{v_{0}}}\right)^{\frac {1}{\delta }},\ \eta _{m}=V_{2m}\xi _{m}^{\delta -1}}$. Перейти к шагу 6. Положить ${\displaystyle \xi _{m}=1-\ln {\frac {V_{2m-1}-v_{0}}{1-v_{0}}},\ \eta _{m}=V_{2m}e^{-\xi _{m}}}$. Если ${\displaystyle \eta _{m}>\xi _{m}^{\delta -1}e^{-\xi _{m}}}$, то увеличить m на единицу и вернуться к шагу 2. Принять ${\displaystyle \xi =\xi _{m}}$ за реализацию ${\displaystyle \Gamma (\delta ,1)}$. Подытожим: ${\displaystyle \theta \left(\xi -\sum _{i=1}^{[k]}{\ln U_{i}}\right)\sim \Gamma (k,\theta ),}$ где [k] является целой частью k, а сгенерирована по алгоритму, приведённому выше при = {k} (дробная часть k); Ui и Vl распределены как указано выше и попарно независимы. Примечания Родионов, 2015, с. 29. Королюк, 1985, с. 134. Литература Лагутин М.Б. Наглядная математическая статистика. — М.: Бином, 2009. — 472 с.