Меню Главная Случайная статья Настройки Экспоненциальное распределение Материал из https://ru.wikipedia.org Экспоненциальное (или показательное[1]) распределение — абсолютно непрерывное распределение, моделирующее время между двумя последовательными свершениями одного и того же события. Содержание 1 Определение 2 Функция распределения 3 Моменты 4 Независимость событий 5 Связь с другими распределениями 6 Примечания 7 Литература Определение Случайная величина ${\displaystyle X}$ имеет экспоненциальное распределение с параметром ${\displaystyle \lambda >0}$, если её плотность вероятности имеет вид: ${\displaystyle f_{X}(x)={\begin{cases}\lambda \,e^{-\lambda x},&x\geq 0,\\0,&x<0.\end{cases}}}$. Пример. Пусть есть магазин, в который время от времени заходят покупатели. При определённых допущениях время между появлениями двух последовательных покупателей будет случайной величиной с экспоненциальным распределением. Среднее время ожидания нового покупателя (см. ниже) равно ${\displaystyle 1/\lambda }$. Сам параметр ${\displaystyle \lambda }$ тогда может быть интерпретирован как среднее число новых покупателей за единицу времени. В этой статье для определённости будем предполагать, что плотность экспоненциальной случайной величины ${\displaystyle X}$ задана первым уравнением, и будем писать: ${\displaystyle X\sim \mathrm {Exp} (\lambda )}$. Функция распределения Интегрируя плотность, получаем функцию экспоненциального распределения: ${\displaystyle F_{X}(x)=\left\{{\begin{matrix}1-e^{-\lambda x}&,\;x\geq 0,\\0&,\;x<0.\end{matrix}}\right.}$ Моменты Несложным интегрированием находим, что производящая функция моментов для экспоненциального распределения имеет вид: ${\displaystyle \mathrm {M} _{X}(t)=\left(1-{t \over \lambda }\right)^{-1}}$, откуда получаем все моменты: ${\displaystyle \mathbb {E} \left[X^{n}\right]={\frac {n!}{\lambda ^{n}}}}$. В частности, ${\displaystyle \mathbb {E} [X]={\frac {1}{\lambda }}}$, ${\displaystyle \mathbb {E} \left[X^{2}\right]={\frac {2}{\lambda ^{2}}}}$, ${\displaystyle \operatorname {D} [X]={\frac {1}{\lambda ^{2}}}}$. Независимость событий Пусть ${\displaystyle X\sim \mathrm {Exp} (\lambda )}$. Тогда ${\displaystyle \mathbb {P} (X>s+t\mid X\geqslant s)=\mathbb {P} (X>t)}$. Пример. Пусть автобусы приходят на остановку случайно, но с некоторой фиксированной средней интенсивностью. Тогда количество времени, уже затраченное пассажиром на ожидание автобуса, не влияет на время, которое ему ещё придётся прождать. Связь с другими распределениями Экспоненциальное распределение является распределением Пирсона типа X[2]. Минимум независимых экспоненциальных случайных величин также экспоненциальная случайная величина. Пусть ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ независимые случайные величины, и ${\displaystyle X_{i}\sim \mathrm {Exp} (\lambda _{i})}$. Тогда[3]: ${\displaystyle Y=\min \limits _{i=1,\ldots ,n}(X_{i})\sim \mathrm {Exp} \left(\sum \limits _{i=1}^{n}\lambda _{i}\right).}$ Экспоненциальное распределение является частным случаем гамма-распределения: ${\displaystyle \mathrm {Exp} (\lambda )\equiv \Gamma (1,1/\lambda ).}$ Сумма независимых одинаково распределённых экспоненциальных случайных величин имеет гамма-распределение. Пусть ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ независимые случайные величины, и ${\displaystyle X_{i}\sim \mathrm {Exp} (\lambda )}$. Тогда: ${\displaystyle Y=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}\sim \Gamma (n,1/\lambda ).}$ Экспоненциальное распределение может быть получено из непрерывного равномерного распределения методом обратного преобразования. Пусть ${\displaystyle U\sim U[0,1]}$. Тогда: ${\displaystyle X=-{\frac {1}{\lambda }}\ln U\sim \mathrm {Exp} (\lambda ).}$ Экспоненциальное распределение с параметром ${\displaystyle \lambda =1/2}$ — это частный случай распределения хи-квадрат: ${\displaystyle \mathrm {Exp} (1/2)\equiv \chi ^{2}(2).}$ Экспоненциальное распределение является частным случаем распределения Вейбулла. Пусть ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ независимые случайные величины, и ${\displaystyle X_{i}\sim \mathrm {Exp} (\lambda )}$и ${\displaystyle Y=\max {X_{1},...,X_{n}},Z=X_{1}+{\frac {X_{2}}{2}}+...+{\frac {X_{n}}{n}}}$. Тогда: ${\displaystyle P(Y<t)=(1-\exp(-\lambda t))^{n},P(Z<t)=(1-\exp(-\lambda t))^{n}.}$ Примечания Андрей Рукосуев, Виктор Башлыков, Константин Балдин. Основы теории вероятностей и математической статистики. Учебник. — Litres, 2016-03-26. — С. 80. — 489 с. — ISBN 9785457365889. Королюк, 1985, с. 135. Литература Лемешко Б. Ю., Блинов П. Ю. Критерии проверки отклонения от экспоненциального закона. Руководство по применению : монография. – Москва : ИНФРА-М, 2021. – 352 с. – (Научная мысль). –DOI 10.12737/1097477 https://znanium.ru/read?id=367267