Меню Главная Случайная статья Настройки Гармонический ряд Материал из https://ru.wikipedia.org Гармонический ряд — сумма, составленная из бесконечного количества членов, обратных последовательным числам натурального ряда: ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\mathcal {\infty }}{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{k}}+\cdots }$. Ряд назван гармоническим, так как складывается из «гармоник»: ${\displaystyle k}$-я гармоника, извлекаемая из скрипичной струны, — это основной тон, производимый струной длиной ${\displaystyle {\frac {1}{k}}}$ от длины исходной струны[1]. Кроме того, каждый член ряда, начиная со второго, представляет собой среднее гармоническое двух соседних членов. Содержание 1 Суммы первых n членов ряда (частичные суммы) 1.1 Некоторые значения частичных сумм 1.2 Формула Эйлера 2 Расходимость ряда 2.1 Доказательство через предел последовательности частичных сумм[3] 2.2 Доказательство Орема 3 Связанные ряды 3.1 Обобщённый гармонический ряд 3.2 Знакопеременный ряд 3.3 Случайный гармонический ряд 3.4 «Истончённый» гармонический ряд 4 Примечания Суммы первыхnчленов ряда (частичные суммы) Отдельные члены ряда стремятся к нулю, но его сумма бесконечна (ряд расходится). Частичная сумма n первых членов гармонического ряда называется ${\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{n}}}$ Разность между ${\displaystyle n}$-м гармоническим числом и натуральным логарифмом ${\displaystyle n}$ сходится к постоянной Эйлера — Маскерони ${\displaystyle \gamma =0{,}5772...}$. Разность между различными гармоническими числами никогда не равна целому числу и никакое гармоническое число, кроме ${\displaystyle H_{1}=1}$, не является целым: ${\displaystyle \forall n>1\;\;\;\;\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\notin \mathbb {N} }$[2]. Некоторые значения частичных сумм ${\displaystyle n}$ Гармонический ряд Приближение ${\displaystyle }$ ${\displaystyle H_{n}}$ (дробь) ${\displaystyle H_{n}}$ (десятичная запись) ${\displaystyle \ln n}$ ${\displaystyle \ln n+\gamma }$ 1 ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0,57721...}$ 2 ${\displaystyle {\frac {3}{2}}}$ ${\displaystyle 1,5}$ ${\displaystyle \approx 0,69315}$ ${\displaystyle \approx 1,27036}$ 3 ${\displaystyle {\frac {11}{6}}}$ ${\displaystyle \approx 1,83333}$ ${\displaystyle \approx 1,09861}$ ${\displaystyle \approx 1,67583}$ 4 ${\displaystyle {\frac {25}{12}}}$ ${\displaystyle \approx 2,08333}$ ${\displaystyle \approx 1,38629}$ ${\displaystyle \approx 1,96351}$ 5 ${\displaystyle {\frac {137}{60}}}$ ${\displaystyle \approx 2,28333}$ ${\displaystyle \approx 1,60944}$ ${\displaystyle \approx 2,18665}$ 6 ${\displaystyle {\frac {49}{20}}}$ ${\displaystyle 2,45}$ ${\displaystyle \approx 1,79176}$ ${\displaystyle \approx 2,36898}$ 7 ${\displaystyle {\frac {363}{140}}}$ ${\displaystyle \approx 2,59285}$ ${\displaystyle \approx 1,94591}$ ${\displaystyle \approx 2,52313}$ 8 ${\displaystyle {\frac {761}{280}}}$ ${\displaystyle \approx 2,71786}$ ${\displaystyle \approx 2,07944}$ ${\displaystyle \approx 2,65666}$ 9 ${\displaystyle {\frac {7129}{2520}}}$ ${\displaystyle \approx 2,82897}$ ${\displaystyle \approx 2,19722}$ ${\displaystyle \approx 2,77444}$ 10 ${\displaystyle {\frac {7381}{2520}}}$ ${\displaystyle \approx 2,92897}$ ${\displaystyle \approx 2,30258}$ ${\displaystyle \approx 2,8798}$ 100 ${\displaystyle \approx 5,18737}$ ${\displaystyle \approx 4,60517}$ ${\displaystyle \approx 5,18238}$ 10${\displaystyle ^{3}}$ ${\displaystyle \approx 7.48547}$ ${\displaystyle \approx 6,90776}$ ${\displaystyle \approx 7,48497}$ 10${\displaystyle ^{6}}$ ${\displaystyle \approx 14,39273}$ ${\displaystyle \approx 13,81551}$ ${\displaystyle \approx 14,39273}$ Формула Эйлера В 1740 году Эйлером было получено асимптотическое выражение для суммы первых ${\displaystyle n}$ членов ряда: ${\displaystyle H_{n}=\ln n+\gamma +\varepsilon _{n}}$, где ${\displaystyle \gamma =0{,}5772...}$ — постоянная Эйлера — Маскерони, а ${\displaystyle \ln }$ — натуральный логарифм. При ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ значение ${\displaystyle \varepsilon _{n}\rightarrow 0,}$ следовательно, для больших ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle H_{n}\approx \ln n+\gamma }$ — формула Эйлера для суммы первых ${\displaystyle n}$ членов гармонического ряда. Пример использования формулы Эйлера ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}}$ ${\displaystyle \ln n+\gamma }$ ${\displaystyle \varepsilon _{n}}$, (%) 10 2,93 2,88 1,7 25 3,82 3,80 0,5 Более точная асимптотическая формула для частичной суммы гармонического ряда: ${\displaystyle H_{n}\asymp \ln n+\gamma +{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{12n^{2}}}+{\frac {1}{120n^{4}}}-{\frac {1}{252n^{6}}}\dots =\ln n+\gamma +{\frac {1}{2n}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{2k\,n^{2k}}},}$ где ${\displaystyle B_{2k}}$ — числа Бернулли. Данный ряд расходится, однако ошибка вычислений по нему никогда не превышает половины первого отброшенного члена[источник не указан 2574 дня]. Расходимость ряда Гармонический ряд расходится: ${\displaystyle s_{n}\rightarrow \infty }$ при ${\displaystyle n\rightarrow \infty ,}$ однако очень медленно (для того, чтобы частичная сумма превысила 100, необходимо около 1.5*1043 элементов ряда). Расходимость гармонического ряда можно продемонстрировать, сравнив его со следующим телескопическим рядом, который получается из логарифмирования ${\displaystyle \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}<e}$: ${\displaystyle v_{n}=\ln(n+1)-\ln n=\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)<{\frac {1}{n}}.}$ Частичная сумма этого ряда, очевидно, равна ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}v_{i}=\ln(n+1).}$ Последовательность таких частичных сумм расходится; следовательно, по определению телескопический ряд расходится, но тогда из признака сравнения рядов следует, что гармонический ряд тоже расходится. Доказательство через предел последовательности частичных сумм[3] Рассмотрим последовательность ${\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{n}}.}$ Покажем, что эта последовательность не является фундаментальной, то есть, что ${\displaystyle \exists \varepsilon >0:\forall k\in \mathbb {N} \ \exists n>k,\exists p\in \mathbb {N} :\left\vert H_{n+p}-H_{n}\right\vert \geq \varepsilon .}$ Оценим разность ${\displaystyle \left\vert H_{n+p}-H_{n}\right\vert ={\frac {1}{n+1}}+\cdots +{\frac {1}{n+p}}\geq {\frac {1}{n+p}}+\cdots +{\frac {1}{n+p}}={\frac {p}{n+p}}.}$ Пусть ${\displaystyle p\doteq n.}$ Тогда ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} :\left\vert H_{2n}-H_{n}\right\vert \geq {\frac {1}{2}}.}$ Следовательно, данная последовательность не является фундаментальной и по критерию Коши расходится. Тогда по определению ряд также расходится. Доказательство Орема Доказательство расходимости можно построить, если сравнить гармонический ряд с другим расходящимся рядом, в котором знаменатели дополнены до степени двойки. Этот ряд группируется, и получается третий ряд, который расходится: ${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}&{}=1+\left[{\frac {1}{2}}\right]+\left[{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\right]+\left[{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}\right]+\left[{\frac {1}{9}}+\cdots \right]+\cdots \\&{}>1+\left[{\frac {1}{2}}\right]+\left[{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}\right]+\left[{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}\right]+\left[{\frac {1}{16}}+\cdots \right]+\cdots \\&{}=1+\ {\frac {1}{2}}\ \ \ +\quad {\frac {1}{2}}\ \quad +\ \qquad \quad {\frac {1}{2}}\qquad \ \quad \ +\quad \ \ {\frac {1}{2}}\ \quad +\ \cdots .\end{aligned}}}$ (Группировка сходящихся рядов всегда дает сходящийся ряд, а значит если после группировки получился ряд расходящийся, то и исходный тоже расходится.) Это доказательство принадлежит средневековому учёному Николаю Орему (ок. 1350). Связанные ряды Обобщённый гармонический ряд Обобщённым гармоническим рядом (частный случай ряда Дирихле) называют ряд[4] ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{\alpha }}}=1+{\frac {1}{2^{\alpha }}}+{\frac {1}{3^{\alpha }}}+{\frac {1}{4^{\alpha }}}+\cdots +{\frac {1}{k^{\alpha }}}+\cdots }$. Этот ряд расходится при ${\displaystyle \alpha \leqslant 1}$ и сходится при ${\displaystyle \alpha >1}$[4]. Сумма обобщённого гармонического ряда порядка ${\displaystyle \alpha }$ равна значению дзета-функции Римана: ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{\alpha }}}=\zeta (\alpha )}$ Для целых чётных показателей это значение явно выражается через число пи — например, сумма ряда обратных квадратов ${\displaystyle \zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$. Но уже для Другой иллюстрацией расходимости гармонического ряда может служить соотношение ${\displaystyle \zeta (1+{\frac {1}{n}})\sim n.}$ Знакопеременный ряд В отличие от гармонического ряда, у которого все слагаемые берутся со знаком «+», ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\;=\;1\,-\,{\frac {1}{2}}\,+\,{\frac {1}{3}}\,-\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,\cdots }$ сходится по признаку Лейбница. Поэтому говорят, что такой ряд обладает условной сходимостью. Его сумма равна натуральному логарифму 2: ${\displaystyle 1\,-\,{\frac {1}{2}}\,+\,{\frac {1}{3}}\,-\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,\cdots \;=\;\ln 2.}$ Эта формула — частный случай ряда Меркатора, то есть ряда Тейлора для натурального логарифма. Похожий ряд может быть получен из ряда Тейлора для арктангенса: ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\;\;=\;\;1\,-\,{\frac {1}{3}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,{\frac {1}{7}}\,+\,\cdots \;\;=\;\;{\frac {\pi }{4}}.}$ Это соотношение известно как ряд Лейбница. Случайный гармонический ряд В 2003 году изучены[5][6] свойства случайного ряда ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {s_{n}}{n}},}$ где ${\displaystyle s_{n}}$ — независимые, одинаково распределённые случайные величины, которые принимают значения +1 и 1 с одинаковой вероятностью . Показано, что этот ряд сходится с вероятностью 1, и сумма ряда есть случайная величина с интересными свойствами. Например, функция плотности вероятности, вычисленная в точках +2 или 2, имеет значение: 0,124 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 7642…, отличаясь от на менее чем 1042. «Истончённый» гармонический ряд См. Ряд Кемпнера[англ.] Если рассмотреть гармонический ряд, в котором оставлены только слагаемые, знаменатели которых не содержат цифры 9, то окажется, что оставшийся ряд сходится, и его сумма меньше 80[7]. Позже была найдена более точная оценка, ряд Кемпнера сходится к ${\displaystyle 22{,}92067661926415034816}$ (последовательность A082838 в OEIS). Более того, доказано, что если оставить слагаемые, не содержащие любой заранее выбранной последовательности цифр, то полученный ряд будет сходиться. Из этого можно сделать ошибочное заключение о сходимости исходного гармонического ряда, что не верно, поскольку с ростом разрядов в числе ${\displaystyle n}$ всё меньше слагаемых берётся для суммы «истончённого» ряда. То есть, в конечном счёте отбрасывается подавляющее большинство членов, образующих сумму гармонического ряда, чтобы не превзойти ограничивающую сверху геометрическую прогрессию. Примечания Грэхэм Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. Основание информатики. — М.: Мир; БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. — С. 47. — 703 с. ISBN 5-03-003773-X Harmonic Number — from Wolfram MathWorld  (неопр.). Дата обращения: 6 марта 2010. Архивировано 16 мая 2013 года. Кудрявцев Н. Л. Лекции по математическому анализу. — 2013. — С. 35. 1 2 Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981, 718 с. «Random Harmonic Series», American Mathematical Monthly 110, 407—416, May 2003 Schmuland’s preprint of Random Harmonic Series  (неопр.). Дата обращения: 6 марта 2010. Архивировано 8 июня 2011 года. Nick’s Mathematical Puzzles: Solution 72  (неопр.). Дата обращения: 6 марта 2010. Архивировано 28 сентября 2010 года.