Ru.Wikipedia.Org - Обратные тригонометрические функции

Обратные тригонометрические функции
Материал из https://ru.wikipedia.org

Обратные тригонометрические функции (круговые функции, аркфункции) — математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям. К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций:

арксинус (обозначение: $\arcsin x;$ число, синус которого равен $x$ )
арккосинус (обозначение: $\arccos x;$ число, косинус которого равен $x$ и т. д.)
арктангенс (обозначение: $\operatorname {arctg} x$ ; в иностранной литературе $\arctan x$ )
арккотангенс (обозначение: $\operatorname {arcctg} x$ ; в иностранной литературе $\operatorname {arccot} x$ или (намного реже) $\operatorname {arccotan} x$ )
арксеканс (обозначение: $\operatorname {arcsec} x$ )
арккосеканс (обозначение: $\operatorname {arccosec} x$ ; в иностранной литературе $\operatorname {arccsc} x$ )

Название обратной тригонометрической функции образуется от названия соответствующей ей тригонометрической функции добавлением приставки «арк-» (от лат. arcus — дуга). Это связано с тем, что геометрически значение обратной тригонометрической функции можно связать с длиной дуги единичной окружности (или углом, стягивающим эту дугу), соответствующей тому или иному отрезку. Так, обычный синус позволяет по дуге окружности найти стягивающую её хорду, а обратная функция решает противоположную задачу. Манера обозначать таким образом обратные тригонометрических функции появилась у австрийского математика XVIII века Карла Шерфера и закрепилась благодаря Лагранжу. Впервые специальный символ для обратной тригонометрической функции использовал Даниил Бернулли в 1729 году. Английская и немецкая математические школы до конца XIX века предлагали иные обозначения:

\sin ^{-1},{\frac {1}{\sin }},

но они не прижились^[1]. Лишь изредка в иностранной литературе, также как и в научных/инженерных калькуляторах, пользуются обозначениями типа sin¹, cos¹ для арксинуса, арккосинуса и т. п.^[2], — такая запись считается не очень удобной, так как возможна путаница с возведением функции в степень 1.

Тригонометрические функции периодичны, поэтому функции, обратные к ним, многозначны. То есть, значение аркфункции представляет собой множество углов (дуг), для которых соответствующая прямая тригонометрическая функция равна заданному числу. Например,

\arcsin 1/2

означает множество углов

\left({\frac {\pi }{6}},{\frac {5\pi }{6}},{\frac {13\pi }{6}},{\frac {17\pi }{6}}\dots ~(30^{\circ },150^{\circ },390^{\circ },510^{\circ }\dots )\right)

, синус которых равен

1/2

. Из множества значений каждой аркфункции выделяют её главные значения (см. графики главных значений аркфункций ниже), которые обычно и имеют в виду, говоря об арксинусе, арккосинусе и т. д.

В общем случае при условии

-1\leqslant \alpha \leqslant 1

все решения уравнения

\sin x=\alpha

можно представить в виде

x=(-1)^{n}\arcsin \alpha +\pi n,~n=0,\pm 1,\pm 2,\dots ~.

^[3]

Содержание

Основное соотношение

\arcsin x+\arccos x={\frac {\pi }{2}}

\operatorname {arctg} \,x+\operatorname {arcctg} \,x={\frac {\pi }{2}}

Функция arcsin

Арксинусом числа x называется такое значение угла

Функция

y=\arcsin x

непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго возрастающей.

$\sin(\arcsin x)=x\qquad$ при $-1\leqslant x\leqslant 1,$
$\arcsin(\sin y)=y\qquad$ при $-{\frac {\pi }{2}}\leqslant y\leqslant {\frac {\pi }{2}},$
$D(\arcsin x)=[-1;1]\qquad$ (область определения),
$E(\arcsin x)=\left[-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right]\qquad$ (область значений).

Свойства функции arcsin

$\arcsin(-x)=-\arcsin x\qquad$ (функция является нечётной).
$\arcsin x>0$ при $0<x\leqslant 1$ .
$\arcsin x=0$ при $x=0.$
$\arcsin x<0$ при $-1\leqslant x<0.$
$\arcsin x={\frac {\pi }{2}}-\arccos x.$
$\arcsin x=\left\{{\begin{matrix}\arccos {\sqrt {1-x^{2}}},\qquad 0\leqslant x\leqslant 1\\-\arccos {\sqrt {1-x^{2}}},\qquad -1\leqslant x\leqslant 0\end{matrix}}\right.$
$\arcsin x=\operatorname {arctg} {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
$\arcsin x=\left\{{\begin{matrix}\operatorname {arcctg} \,{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}},\qquad 0<x\leqslant 1\\\operatorname {arcctg} \,{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}-\pi ,\qquad -1\leqslant x<0\end{matrix}}\right.$

Получение функции arcsin

Дана функция

y=\sin x

. На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, на всей числовой прямой обратное соответствие

y=\arcsin x

функцией не является. Поэтому рассмотрим отрезок

[-\pi /2;\pi /2]

, на котором функция

y=\sin x

строго монотонно возрастает и принимает все значения своей области значений только один раз. Тогда на отрезке

[-\pi /2;\pi /2]

существует обратная функция

y=\arcsin x

, график которой симметричен графику функции

y=\sin x

относительно прямой

y=x

.

Функция arccos

Арккосинусом числа

Функция

y=\arccos x

непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго убывающей и неотрицательной.

$\cos(\arccos x)=x$ при $-1\leqslant x\leqslant 1,$
$\arccos(\cos y)=y$ при $0\leqslant y\leqslant \pi .$
$D(\arccos x)=[-1;1]$ (область определения),
$E(\arccos x)=[0;\pi ]$ (область значений).

Свойства функции arccos

$\arccos(-x)=\pi -\arccos x.$ Функция центрально-симметрична относительно точки $\left(0;{\frac {\pi }{2}}\right),$ является индифферентной (ни чётной, ни нечётной).
$\arccos x>0$ при $-1\leqslant x<1.$
$\arccos x=0$ при $x=1.$
$\arccos x={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x.$
$\arccos x=\left\{{\begin{matrix}\arcsin {\sqrt {1-x^{2}}},\qquad 0\leqslant x\leqslant 1\\\pi -\arcsin {\sqrt {1-x^{2}}},\qquad -1\leqslant x\leqslant 0\end{matrix}}\right.$
$\arccos x=\operatorname {arcctg} {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
$\arccos x=\left\{{\begin{matrix}\operatorname {arctg} \,{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}},\qquad 0<x\leqslant 1\\\pi +\operatorname {arctg} \,{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}},\qquad -1\leqslant x<0\end{matrix}}\right.$
$\arccos x=2\arcsin {\sqrt {\frac {1-x}{2}}}$
$\arccos x=2\arccos {\sqrt {\frac {1+x}{2}}}$
$\arccos x=2\operatorname {arctg} {\sqrt {\frac {1-x}{1+x}}}=2\operatorname {arctg} {\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{1+x}}$

Получение функции arccos

Дана функция

y=\cos x

y=\arccos x

функцией не является. Поэтому рассмотрим отрезок

[0;\pi ]

, на котором функция

y=\cos x

строго монотонно убывает и принимает все значения своей области значений только один раз. Тогда на отрезке

[0;\pi ]

существует обратная функция

y=\arccos x

, график которой симметричен графику функции

y=\cos x

относительно прямой

y=x

.

Функция arctg

Арктангенсом числа

Функция

y=\operatorname {arctg} x

определена на всей числовой прямой, всюду непрерывна и ограничена. Она является строго возрастающей.

$\operatorname {tg} \,(\operatorname {arctg} \,x)=x$ при $x\in \mathbb {R} ,$
$\operatorname {arctg} \,(\operatorname {tg} \,y)=y$ при $-{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}},$
$D(\operatorname {arctg} \,x)=(-\infty ;\infty )$ (область определения),
$E(\operatorname {arctg} \,x)=\left(-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right)$ (область значений).

Свойства функции arctg

$\operatorname {arctg} (-x)=-\operatorname {arctg} x\qquad$ (функция является нечётной).
$\operatorname {arctg} x=\arcsin {\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}.$
$\operatorname {arctg} x=\left\{{\begin{matrix}\arccos {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}},\qquad x\geqslant 0\\-\arccos {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}},\qquad x\leqslant 0\end{matrix}}\right.$
$\operatorname {arctg} x=2\operatorname {arctg} {\frac {x}{{\sqrt {1+x^{2}}}+1}}=2\operatorname {arctg} {\frac {{\sqrt {1+x^{2}}}-1}{x}}.$
$\operatorname {arctg} x=\pi /2-\operatorname {arcctg} x.$
$\operatorname {arctg} x=\left\{{\begin{matrix}\operatorname {arcctg} {\frac {1}{x}},\qquad x>0\\\operatorname {arcctg} {\frac {1}{x}}-\pi ,\qquad x<0\end{matrix}}\right.$
$\operatorname {arctg} x=-i\operatorname {arth} {ix}$ , где $\operatorname {arth}$ — обратный гиперболический тангенс, ареатангенс.
$\operatorname {arth} x=i\operatorname {arctg} {ix}.$

Получение функции arctg

Дана функция

y=\operatorname {tg} \,x

. На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие

y=\operatorname {arctg} \,x

функцией не является. Поэтому рассмотрим интервал

(-\pi /2;\pi /2)

, на котором функция

y=\operatorname {tg} \,x

строго монотонно возрастает и принимает все значения своей области значений только один раз. Тогда на интервале

(-\pi /2;\pi /2)

существует обратная функция

y=\operatorname {arctg} \,x

, график которой симметричен графику функции

y=\operatorname {tg} \,x

относительно прямой

y=x

.

Функция arcctg

Арккотангенсом числа

Функция

y=\operatorname {arcctg} \,x

определена на всей числовой прямой, всюду непрерывна и ограничена. Она является строго убывающей и всюду положительной.

$\operatorname {ctg} (\operatorname {arcctg} \,x)=x$ при $x\in \mathbb {R} ,$
$\operatorname {arcctg} (\operatorname {ctg} \,y)=y$ при $0<y<\pi ,$
$D(\operatorname {arcctg} x)=(-\infty ;\infty ),$
$E(\operatorname {arcctg} x)=(0;\pi ).$

Свойства функции arcctg

$\operatorname {arcctg} (-x)=\pi -\operatorname {arcctg} x.$ График функции центрально-симметричен относительно точки $\left(0;{\frac {\pi }{2}}\right).$ Функция является индифферентной (ни чётной, ни нечётной).
$\operatorname {arcctg} x>0$ при любых $x.$
$\operatorname {arcctg} x=\arccos {\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}.$
$\operatorname {arcctg} x=\left\{{\begin{matrix}\arcsin {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}},\qquad x\geqslant 0\\\pi -\arcsin {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}},\qquad x\leqslant 0\end{matrix}}\right.$
$\operatorname {arcctg} x=2\operatorname {arctg} ({\sqrt {x^{2}+1}}-x)=2\operatorname {arcctg} ({\sqrt {x^{2}+1}}+x).$
$\operatorname {arcctg} x=\pi /2-\operatorname {arctg} x.$
$\operatorname {arcctg} x=\left\{{\begin{matrix}\operatorname {arctg} {\frac {1}{x}},\qquad x>0\\\operatorname {arctg} {\frac {1}{x}}+\pi ,\qquad x<0\end{matrix}}\right.$

Получение функции arcctg

Дана функция

y=\operatorname {ctg} \,x

. На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие

y=\operatorname {arcctg} \,x

функцией не является. Поэтому рассмотрим интервал

(0;\pi )

, на котором функция

y=\operatorname {ctg} \,x

строго монотонно убывает и принимает все значения своей области значений только один раз. Тогда на интервале

(0;\pi )

существует обратная функция

y=\operatorname {arcctg} \,x

, график которой симметричен графику функции

y=\operatorname {ctg} \,x

относительно прямой

y=x

.

График арккотангенса получается из графика арктангенса, если последний отразить относительно оси ординат (то есть заменить знак аргумента,

x\rightarrow -x

) и сместить вверх на

Функция arcsec

Арксекансом числа

Функция

y=\operatorname {arcsec} x

непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго возрастающей и всюду неотрицательной.

$\sec(\operatorname {arcsec} x)=x$ при $|x|\geqslant 1,$
$\operatorname {arcsec}(\sec y)=y$ при $0\leqslant y\leqslant \pi .$
$D(\operatorname {arcsec} x)=(-\infty ;-1]\cup [1,\infty )$ (область определения),
$E(\operatorname {arcsec} x)=[0;{\frac {\pi }{2}})\cup ({\frac {\pi }{2}};\pi ]$ (область значений).

Свойства функции arcsec

$\operatorname {arcsec}(-x)=\pi -\operatorname {arcsec} x.$ График функции центрально-симметричен относительно точки $\left(0;{\frac {\pi }{2}}\right).$ Функция является индифферентной (ни чётной, ни нечётной).
$\operatorname {arcsec} x\geqslant 0$ при любых $x.$
$\operatorname {arcsec} x=\left\{{\begin{matrix}\arcsin {\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}},\qquad x\geqslant 1\\\pi +\arcsin {\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}},\qquad x\leqslant -1\end{matrix}}\right.$
$\operatorname {arcsec} x={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccosec} x.$
$\operatorname {arcsec} x=\arccos {\frac {1}{x}}.$

Функция arccosec

Арккосекансом числа

Функция

y=\operatorname {arccosec} x

непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго убывающей.

$\operatorname {cosec} (\operatorname {arccosec} x)=x$ при $|x|\geqslant 1,$
$\operatorname {arccosec} (\operatorname {cosec} y)=y$ при $-\pi /2\leqslant y\leqslant \pi /2.$
$D(\operatorname {arccosec} x)=(-\infty ;-1]\cup [1,\infty )$ (область определения),
$E(\operatorname {arccosec} x)=[-{\frac {\pi }{2}};0)\cup (0;{\frac {\pi }{2}}]$ (область значений).

Свойства функции arccosec

$\operatorname {arccosec} (-x)=-\operatorname {arccosec} x$ (функция является нечётной).
$\operatorname {arccosec} \,x=\operatorname {arctg} {\frac {\operatorname {sgn} x}{\sqrt {x^{2}-1}}}=\left\{{\begin{matrix}\operatorname {arctg} {\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}},\qquad x>1\\-\operatorname {arctg} {\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}},\qquad x<-1\end{matrix}}\right.$
$\operatorname {arccosec} x=\pi /2-\operatorname {arcsec} x.$
$\operatorname {arccosec} x=\arcsin {\frac {1}{x}}.$

Разложение в ряды

$\displaystyle \arcsin x=x+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}+\cdots \ =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}$ для всех $\left|x\right|\leq 1$ ^[4]
$\displaystyle \arccos x={\pi \over 2}-\arcsin x={\pi \over 2}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}$ для всех $\left|x\right|\leq 1$
$\displaystyle \operatorname {arctg} \ x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots \ =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{2n-1}}x^{2n-1}$ для всех $\left|x\right|\leq 1$

Производные от обратных тригонометрических функций

Все обратные тригонометрические функции бесконечно дифференцируемы в каждой точке своей области определения. Первые производные:

Функция $f(x)$	Производная $f'(x)$	Примечание
$\arcsin {x}$	${\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$	Доказательство Найти производную арксинуса можно при помощи взаимно обратных функций. $sin(arcsin(x))=x$ После чего мы должны взять производную этих обеих функций. $[sin(arcsin(x))]'=x'$ $cos(arcsin(x))\cdot (arcsin(x))'=1$ Теперь мы должны выразить производную арксинуса. $(arcsin(x))'={\frac {1}{cos(arcsin(x))}}$ Исходя из тригонометрического тождества( $sin^{2}x+cos^{2}x=1$ ) — получаем. $(arcsin(x))'={\frac {1}{\pm {\sqrt {1-sin^{2}(arcsin(x))}}}}$ Для того, чтобы понять плюс должен стоять или минус взглянем какие значения. $D(cos(x))=[{\frac {\pi }{2}};-{\frac {\pi }{2}}]$ Так как косинус находится в 2-й и 4-й четвертях то, получается что косинус положительный. $(arcsin(x))'={\frac {1}{\sqrt {1-sin^{2}(arcsin(x))}}}$ Получается. $(arcsin(x))'={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
$\arccos {x}$	$-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
$\mathrm {arctg} \ x$	${\frac {1}{1+x^{2}}}$
$\mathrm {arcctg} \ x$	$-{\frac {1}{1+x^{2}}}$
$\mathrm {arcsec} \ x$	${\frac {1}{\|x\|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$	Доказательство Найти производную арксеканса можно при помощи тождества: $arcsec(x)=arccos({\frac {1}{x}})$ Теперь находим производную обеих частей этого тождества. $(arcsec(x))'=(arccos({\frac {1}{x}}))'$ $(arcsec(x))'=-{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}}\cdot (-{\frac {1}{x^{2}}})$ $(arcsec(x))'={\frac {1}{x^{2}{\sqrt {\frac {x^{2}-1}{x^{2}}}}}}$ $(arcsec(x))'={\frac {1}{x^{2}{\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{\|x\|}}}}$ Получается. $(arcsec(x))'={\frac {1}{\|x\|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$
$\mathrm {arccosec} \ x$	$-{\frac {1}{\|x\|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$	Доказательство Найти производную арккосеканса можно при помощи данного тождества: $arccosec(x)+arcsec(x)={\frac {\pi }{2}}$ Теперь находим производную обеих частей этого тождества. $[arccosec(x)+arcsec(x)]'=({\frac {\pi }{2}})'$ $(arccosec(x))'+(arcsec(x))'=0$ Теперь выражаем производную арккосинуса. $(arccosec(x))'=-(arcsec(x))'$ Получается. $(arccosec(x))'=-{\frac {1}{\|x\|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$

Интегралы от обратных тригонометрических функций

Неопределённые интегралы

Для действительных и комплексных x:

{\begin{aligned}\int \arcsin x\,dx&{}=x\,\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C,\\\int \arccos x\,dx&{}=x\,\arccos x-{\sqrt {1-x^{2}}}+C,\\\int \operatorname {arctg} \,x\,dx&{}=x\,\operatorname {arctg} \,x-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C,\\\int \operatorname {arcctg} \,x\,dx&{}=x\,\operatorname {arcctg} \,x+{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C,\\\int \operatorname {arcsec} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec} x-\ln \left(x\left(1+{\sqrt {{x^{2}-1} \over x^{2}}}\,\right)\!\right)+C,\\\int \operatorname {arccosec} \,x\,dx&{}=x\,\operatorname {arccosec} \,x+\ln \left(x\left(1+{\sqrt {{x^{2}-1} \over x^{2}}}\,\right)\!\right)+C.\end{aligned}}

Для действительных x 1:

{\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec} x-\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C,\\\int \operatorname {arccosec} \,x\,dx&{}=x\,\operatorname {arccosec} \,x+\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C.\end{aligned}}

См. также Список интегралов от обратных тригонометрических функций

Использование в геометрии

Обратные тригонометрические функции используются для вычисления углов треугольника, если известны его стороны, например, с помощью теоремы косинусов.

В прямоугольном треугольнике эти функции от отношений сторон сразу дают угол. Так, если катет длины

a

является противолежащим для угла

\alpha

, то

\alpha =\arcsin(a/c)=\arccos(b/c)=\operatorname {arctg} (a/b)=\operatorname {arccosec} (c/a)=\operatorname {arcsec}(c/b)=\operatorname {arcctg} (b/a).

Связь с натуральным логарифмом

Для вычисления значений обратных тригонометрических функций от комплексного аргумента удобно использовать формулы, выражающие их через натуральный логарифм:

\arcsin z=-i\ln(iz+{\sqrt {1-z^{2}}})={\frac {\pi }{2}}+i\ln(z+{\sqrt {z^{2}-1}})=-i\operatorname {arsh} \,iz,

\arccos z={\dfrac {\pi }{2}}+i\ln(iz+{\sqrt {1-z^{2}}})=-i\operatorname {arch} z,

\operatorname {arctg} z={\dfrac {i}{2}}(\ln(1-iz)-\ln(1+iz))=-i\operatorname {arth} iz,

\operatorname {arcctg} z={\dfrac {i}{2}}\left(\ln \left({\dfrac {z-i}{z}}\right)-\ln \left({\dfrac {z+i}{z}}\right)\right)=i\operatorname {arcth} iz,

\operatorname {arcsec} z=\arccos \left(z^{-1}\right)={\dfrac {\pi }{2}}+i\ln \left({\sqrt {1+{\dfrac {1}{z^{2}}}}}+{\dfrac {1}{z}}\right),

\operatorname {arccosec} z=\arcsin \left(z^{-1}\right)=-i\ln \left({\sqrt {1-{\dfrac {1}{z^{2}}}}}+{\dfrac {i}{z}}\right).

См. также

Примечания

Александрова Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник, изд. 3-е. — СПб.: ЛКИ, 2008. — С. 211. — ISBN 978-5-382-00839-4.
Здесь знак ¹ определяет функцию x = f¹ (y), обратную функции y = f (x)
Энциклопедический словарь, 1985, с. 220.
При значении x, близком к 1, эта расчётная формула даёт большую погрешность. Поэтому можно воспользоваться формулой $\arcsin x=\arccos {\sqrt {1-x^{2}}},$ где $\arccos x={\pi \over 2}-\arcsin x$

Ссылки

Weisstein, Eric W. Обратные тригонометрические функции (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Математическая энциклопедия / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: «Советская Энциклопедия», 1982. — [dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/3612/%D0%9E%D0%91%D0%A0%D0%90%D0%A2%D0%9D%D0%AB%D0%95 Т. 3. — с. 1135].
Обратные тригонометрические функции — статья из Большой советской энциклопедии. — М.: «Советская Энциклопедия», 1974. — Т. 18. — с. 225.
Обратные тригонометрические функции // Энциклопедический словарь юного математика / Савин А.П. — М.: Педагогика, 1985. — С. 220—221. — 352 с.
Построение графиков обратных тригонометрических функций онлайн
Онлайн калькулятор: обратные тригонометрические функции