Меню

Главная
Случайная статья
Настройки
Гексамино
Материал из https://ru.wikipedia.org

Гексамино — шестиклеточное полимино, то есть плоская фигура, состоящая из шести равных квадратов, соединённых сторонами. С фигурами гексамино, как со всеми полимино, связано много задач занимательной математики.

Если не считать различными фигуры, совпадающие при поворотах и зеркальных отражениях, то различных («свободных») форм гексамино насчитывается 35 (см. рисунок)[1][2]. Существует 60 видов «односторонних» гексамино (если зеркальные отражения считаются различными фигурами) и 216 видов «фиксированных» гексамино (различными считаются также и повороты)[3].

Содержание

Классификация гексамино по симметрии

35 свободных фигур гексамино по их свойствам симметрии можно разделить на 5 категорий:
  • 20 фигур гексамино (на рисунке изображены серым цветом) асимметричны;
  • 6 гексамино (изображены красным) имеют ось симметрии, параллельную линиям квадратной сетки;
  • 2 гексамино (изображены зелёным) имеют диагональную ось симметрии;
  • 5 гексамино (изображены синим) имеют центральную (вращательную) симметрию второго порядка;
  • 2 гексамино (изображены фиолетовым) имеют две оси симметрии, параллельных линиям сетки.


Для односторонних гексамино (то есть если зеркальные отражения фигур считать различными), первая и четвёртая категории удваиваются в численности, что даёт дополнительно 25 гексамино, то есть в общей сложности 60. Для фиксированных гексамино (то есть если повороты также рассматривать как различные фигуры), то первая категория возрастёт в восемь раз по сравнению со свободнми гексамино, следующие три категории — в четыре раза, а из последней категории — в два. Это даст фиксированных гексамино.

Составление фигур из гексамино

Хотя полный набор из 35 гексамино имеет общую площадь 210 квадратов, из них невозможно составить какой-либо прямоугольник с такой площадью (370, 542, 635, 730, 1021, 1415) — в отличие от 12 пентамино, из которых можно сложить любой из прямоугольников 320, 415, 512 и 610. Доказать это можно, раскрасив гексамино и прямоугольник в шахматном порядке. Тогда 11 фигур гексамино будут иметь чётное количество квадратов обоих цветов (2 белых и 4 чёрных или наоборот), а остальные 24 гексамино — нечётное (3 белых и 3 чёрных). Таким образом, в любой фигуре, составленной из полного набора гексамино, число квадратов каждого цвета будет чётным. Но любой прямоугольник из 210 квадратов будет иметь 105 чёрных квадратов и 105 белых, то есть нечётное число.

Тем не менее, есть другие симметричные фигуры из 210 квадратов, которые могут быть составлены из гексамино. Например, квадрат 1515 с прямоугольным отверстием 35 в центре имеет 106 белых и 104 чёрных квадрата (или наоборот) и может быть составлен из полного набора в 35 гексамино[4].

Некоторые симметричные укладки гексамино
  • «Параллелограмм» 1514 с зубчатыми боковыми сторонами
  • Прямоугольник 1911 с одноклеточным выступом
  • Прямоугольник 1316 с двумя выступами
  • «Треугольник» с зубчатой гипотенузой
  • Прямоугольник 1715 с крестообразным отверстием


Кроме того, из 60 односторонних гексамино, имеющих общую площадь в 360 единичных квадратов, можно составить прямоугольники 572, 660, 845, 940, 1036, 1230, 1524 и 1820[5].

Развёртки куба

11 из 35 фигур гексамино являются развёртками куба (см. рисунок)[6]. Сложить из них прямоугольник площадью в 66 единичных квадратов невозможно[7].

Примечания
  1. Голомб, 1975.
  2. Golomb, 1994.
  3. Weisstein, Eric W. Hexomino (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  4. Hexominos. Дата обращения: 18 сентября 2011. Архивировано 27 сентября 2011 года.
  5. Gerard’s Polyomino Solution Page. Дата обращения: 30 сентября 2011. Архивировано 18 января 2012 года.
  6. И. Константинов Пентамино и др. Архивная копия от 19 ноября 2015 на Wayback Machine Наука и жизнь, № 4, 2002
  7. Гарднер, Математические новеллы, 1974.


Литература
Downgrade Counter