Меню
Главная
Случайная статья
Настройки
|
Развёртка многогранника — совокупность многоугольников, соответственно равных граням многогранника, с указанием того, какие стороны и вершины многоугольников соответствуют одним и тем же рёбрам и вершинам многогранника[1].
Модели многогранников часто склеиваются из развёрток или отдельных многоугольников с указанием сторон, которые должны быть склеены[1][2].
Содержание
Развёрткиплатоновых телс «крылышками» для склеивания граней
Приведённые ниже развёртки - не единственно возможное решение. К примеру, для куба существует целый ряд различных развёрток, причём их число заметно увеличиться, если допустить возможность создания грани не только целым квадратом из развёртки, но и треугольниками (вместе образующими квадрат грани).
Большие размерности
Свойства- Существуют примеры развёрток, из которых можно склеить различные выпуклые многогранники.
- Известны примеры невыпуклых многогранников, не допускающих развёрток.[3]
- Среди тетраэдров можно найти пример, такой что разрезание рёбер по остовному дереву даёт развёртку с самоналеганиями.
- В 1975 году Шепард[англ.] сформулировал гипотезу, что каждый выпуклый многогранник имеет развёртку без наложений.[4] Эта гипотеза остаётся открытой до сегодняшнего дня.[5][6] Известно следующее:
- Для невыпуклых многогранников утверждение не верно.
- Некоторые многогранники, например, неправильные тетраэдры определённого типа, допускают развёртки с самоперекрытиями.
- Гипотеза верна для многогранников, у которых одна из граней имеет общее ребро со всеми остальными.
- В 2014 Мохамед Гоми доказал, что такая развёртка найдётся, если применить к многограннику аффинное преобразование определённого типа.[7] В частности, из любого комбинаторного класса выпуклых многогранников можно выбрать многогранник, допускающий развёртку.
См. также
Примечания
- 1 2 ЭЭМ, книга IV, 1963, с. 410.
- Веннинджер, 1974.
- Demaine, Erik D.; O'Rourke, Joseph (2007), Chapter 22. Edge Unfolding of Polyhedra, Geometric Folding Algorithms: Linkages, Origami, Polyhedra, Cambridge University Press, pp. 306–338
-
- Weisstein, Eric W. Shephard's Conjecture (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
-
-
Литература
|
|
