Меню Главная Случайная статья Настройки Геодезическая кривизна Материал из https://ru.wikipedia.org Геодезическая кривизна ${\displaystyle k_{g}}$ кривой ${\displaystyle \gamma }$ в римановой геометрии измеряет, насколько сильно кривая отличается от геодезической. Например, для 1D кривой на 2D поверхности, вложенной в 3D пространство, это кривизна кривой, спроецированной на плоскость, касательную к поверхности. Более общо, в заданном многообразии ${\displaystyle {\bar {M}}}$ геодезическая кривизна это обычная кривизна кривой ${\displaystyle \gamma }$ (см. ниже). Однако если кривая ${\displaystyle \gamma }$ лежит в подмногообразии ${\displaystyle M}$ многообразия ${\displaystyle {\bar {M}}}$ (например, для кривизны поверхности), геодезическая кривизна относится к кривизне ${\displaystyle \gamma }$ в ${\displaystyle M}$, и она отличается в общем виде от кривизны ${\displaystyle \gamma }$ в объемлющем многообразии ${\displaystyle {\bar {M}}}$. (Объемлющая) кривизна ${\displaystyle k}$ кривой ${\displaystyle \gamma }$ зависит от двух факторов кривизны подмногообразия ${\displaystyle M}$ в направлении ${\displaystyle \gamma }$ (нормальная кривизна ${\displaystyle k_{n}}$), которая зависит только от направления кривой и кривизны ${\displaystyle \gamma }$ в многообразии ${\displaystyle M}$ (геодезическая кривизна ${\displaystyle k_{g}}$), которая является величиной второго порядка. Связь между ними ${\displaystyle k={\sqrt {k_{g}^{2}+k_{n}^{2}}}}$. В частности, геодезические на ${\displaystyle M}$ имеют нулевую геодезическую кривизну («прямые»), так что ${\displaystyle k=k_{n}}$. Содержание 1 Определение 2 Пример 3 Некоторые результаты, использующие геодезическую кривизну 4 См. также 5 Литература 6 Ссылки Определение Рассмотрим кривую ${\displaystyle \gamma }$ на многообразии ${\displaystyle {\bar {M}}}$, параметризованную длиной кривой, с единичным касательным вектором ${\displaystyle T=d\gamma /ds}$. Её кривизна равна норме ковариантной производной вектора ${\displaystyle T}$: ${\displaystyle k=\|DT/ds\|}$. Если ${\displaystyle \gamma }$ лежит на ${\displaystyle M}$, геодезическая кривизна равна норме проекции ковариантной производной ${\displaystyle DT/ds}$ на касательное пространство подмногообразия. Напротив, нормальная кривизна равна норме проекции ${\displaystyle DT/ds}$ на нормальное расслоение подмногообразия в рассматриваемой точке. Если объемлющее многообразие является евклидовым пространством ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, то ковариантная производная ${\displaystyle DT/ds}$ равна обычной производной ${\displaystyle dT/ds}$. Пример Пусть ${\displaystyle M}$ будет единичной сферой ${\displaystyle S^{2}}$ в трёхмерном евклидовом пространстве. Нормальная кривизна сферы ${\displaystyle S^{2}}$ равна 1, независимо от рассматриваемого направления. Большие круги имеют кривизну ${\displaystyle k=1}$, так что они имеют нулевую геодезическую кривизну, а потому являются геодезическими. Меньшие круги радиуса ${\displaystyle r}$ будут иметь кривизну ${\displaystyle 1/r}$ и геодезическую кривизну ${\displaystyle k_{g}={\frac {\sqrt {1-r^{2}}}{r^{2}}}}$. Некоторые результаты, использующие геодезическую кривизну Геодезическая кривизна это не что иное, как обычная кривизна, вычисленная в подмногообразии ${\displaystyle M}$. Она не зависит от способа размещения подмногообразия ${\displaystyle M}$ в ${\displaystyle {\bar {M}}}$. Геодезическая на ${\displaystyle M}$ имеет нулевую геодезическую кривизну, что эквивалентно высказыванию, что ${\displaystyle DT/ds}$ ортогонален касательному пространству к ${\displaystyle M}$. С другой стороны, нормальная кривизна строго зависит от того, как подмногообразие расположено в объемлющем пространстве, но мало от кривой ${\displaystyle k_{n}}$ зависит только от точки на многообразии и направления ${\displaystyle T}$, но не от ${\displaystyle DT/ds}$. В общей римановой геометрии производная вычисляется с помощью связности Леви-Чивиты ${\displaystyle {\bar {\nabla }}}$ объемлющего многообразия: ${\displaystyle DT/ds={\bar {\nabla }}_{T}T}$. Она распадается на касательную часть и нормальную часть для подмногообразия ${\displaystyle {\bar {\nabla }}_{T}T=\nabla _{T}T+({\bar {\nabla }}_{T}T)^{\perp }}$. Касательная часть является обычной производной ${\displaystyle \nabla _{T}T}$ в ${\displaystyle M}$ (это частный случай уравнения Гаусса для Уравнения Петерсона Кодацци), в то время как нормальная часть равна ${\displaystyle \mathrm {I\!I} (T,T)}$, где ${\displaystyle \mathrm {I\!I} }$ означает вторую квадратичную форму. Формула Гаусса — Бонне. См. также Кривизна Поверхность Дарбу Уравнения Петерсона Кодацци Литература Manfredo P. do Carmo. Differential Geometry of Curves and Surfaces. — Prentice-Hall, 1976. — ISBN 0-13-212589-7. Ссылки Weisstein, Eric W. Geodesic curvature (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.