Меню Главная Случайная статья Настройки Гиперболические уравнения Материал из https://ru.wikipedia.org Гиперболические уравнения — класс дифференциальных уравнений в частных производных. Характеризуются тем, что задача Коши с начальными данными, заданными на нехарактеристической поверхности, однозначно разрешима. Содержание 1 Уравнения второго порядка 2 Уравнения первого порядка на плоскости 3 Решение гиперболических уравнений 4 Примеры гиперболических уравнений 5 См. также 6 Литература 7 Примечания Уравнения второго порядка Рассмотрим общий вид скалярного линейного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка относительно функции ${\displaystyle u\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$: ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}+\sum _{k=1}^{n}b_{k}{\frac {\partial u}{\partial x_{k}}}+cu=f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ При этом уравнение записано в симметричном виде, то есть ${\displaystyle a_{ij}=a_{ji}}$. Тогда эквивалентное уравнение в виде квадратичной формы: ${\displaystyle \left(\nabla A\nabla ^{T}\right)u+\mathbf {b} \cdot \nabla u+cu=f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$, где ${\displaystyle A=A^{T}}$. Матрица ${\displaystyle A}$ называется матрицей главных коэффициентов. Если сигнатура полученной формы равна ${\displaystyle (n-1,1)}$, то есть матрица ${\displaystyle A}$ имеет ${\displaystyle n-1}$ положительных собственных значений и одно отрицательное (либо наоборот: ${\displaystyle n-1}$ отрицательных, одно положительное), то уравнение относят к гиперболическому типу[1]. Другое, эквивалентное определение: уравнение называется гиперболическим, если оно представимо в виде: ${\displaystyle Lu-a^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=f(x_{1},\ldots ,x_{n-1},t)}$, где ${\displaystyle L}$ — положительно определённый эллиптический оператор, ${\displaystyle a\neq 0}$. Уравнения первого порядка на плоскости Уравнение типа ${\displaystyle u_{t}+Au_{x}=h(t,x,u)}$, где ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle A=A(x,t,u)\in \mathbb {R} ^{n\cdot n}}$ — квадратные матрицы и ${\displaystyle u=u(x,t)\in \mathbb {R} ^{n}}$ — неизвестные, являются гиперболическими, если матрица ${\displaystyle A}$ имеет различные вещественные собственные значения для всех параметров[2]. Решение гиперболических уравнений Для нахождения однозначного решения уравнение доопределяется начальными и краевыми условиями. Поскольку уравнение имеет второй порядок по времени, то начальных условия два: для самой функции и для её производной. Для аналитического решения уравнений в бесконечной области используют формулу Кирхгофа, которая в одномерном случае представляется в виде формулы Д’Аламбера, а в двухмерном — в виде формулы Пуассона — Парсеваля. Для аналитического решения в конечной области можно использовать метод разделения переменных Фурье и его модификации для решения неоднородных уравнений. Для численного решения используют метод конечных элементов, метод конечных разностей, их комбинацию (по времени решают конечными разностями, по пространству — конечными элементами)[3], а также другие численные методы, подходящие для задачи. Примеры гиперболических уравнений Волновое уравнение — уравнение, описывающее колебания струн, мембран и так далее. Различные уравнения, получаемые из уравнений Максвелла, описывающие электромагнитное поле. Это может быть постановка относительно одного из векторов ${\displaystyle \mathbf {A} ,\mathbf {E} ,\mathbf {B} ,\mathbf {D} ,\mathbf {H} }$, считая ненулевой только одну из компонент вектора (то есть когда уравнение становится скалярным). Сеть Чебышёва — решение линейного гиперболического уравнения первой степени. См. также Эллиптические уравнения Параболическое уравнение Схема с разностями против потока Литература Гиперболического типа уравнение // Математический энциклопедический словарь. Гл.ред. Ю. В. Прохоров. — М.: «Советская энциклопедия». — 1988. Лере Ж. Гиперболические дифференциальные уравнения. — М., Наука, 1984. — 208 с. Примечания Тихонов А.Н, Самарский А.А. Уравнения математической физики (5-е изд.).. — Москва: Наука, 1977.