Меню Главная Случайная статья Настройки Гипотеза Андрицы Материал из https://ru.wikipedia.org Гипотеза Андрицы — гипотеза относительно интервалов между простыми числами, согласно которой неравенство ${\displaystyle {\sqrt {p_{n+1}}}-{\sqrt {p_{n}}}<1}$ выполняется для всех ${\displaystyle n}$, где ${\displaystyle p_{n}}$ является ${\displaystyle n}$-м простым числом. Если ${\displaystyle g_{n}=p_{n+1}-p_{n}}$ означает ${\displaystyle n}$-й интервал, то гипотезу Андрицы можно переписать как ${\displaystyle g_{n}<2{\sqrt {p_{n}}}+1}$. Сформулирована румынским математиком Дорином Андрицей в 1986 году[1]. Содержание 1 Эмпирическое подтверждение 2 Обобщения 3 См. также 4 Примечания 5 Литература 6 Ссылки Эмпирическое подтверждение В начале 2000-х годов с использованием данных о наибольших интервалах простых чисел гипотеза проверена вплоть до ${\displaystyle 1{,}3002\times 10^{16}}$[2]. Используя таблицу максимальных интервалов и неравенство для интервалов, можно расширить значение подтверждения вплоть до ${\displaystyle 4\times 10^{18}}$. Существует графическая иллюстрация гипотезы: для дискретной функции ${\displaystyle A_{n}={\sqrt {p_{n+1}}}-{\sqrt {p_{n}}}}$ (функции Андрицы) наибольшее значение наблюдается в точке ${\displaystyle n=4}$ со значением ${\displaystyle A_{4}\approx 0{,}670873\dots }$, и больших значений нет среди первых 105 простых чисел. Поскольку функция Андрицы асимптотически убывает по мере возрастания ${\displaystyle n}$, гипотеза с большой вероятностью верна, но остаётся недоказанной. Обобщения В качестве обобщения гипотезы Андрицы рассматривается следующее равенство: ${\displaystyle p_{n+1}^{x}-p_{n}^{x}=1,}$ где ${\displaystyle p_{n}}$ — ${\displaystyle n}$-е простое, а ${\displaystyle x}$ может быть любым положительным (вещественным) числом. Наибольшее возможное решение по ${\displaystyle x}$ находится при ${\displaystyle n=1}$, когда ${\displaystyle x_{\max }=1}$. Есть гипотеза, что наименьшее значение ${\displaystyle x}$ равно ${\displaystyle x_{\min }\approx 0{,}567148\dots }$[3], которое находится при ${\displaystyle n=30}$. Эта гипотеза формулируется в виде неравенства, обобщающего гипотезу Андрицы: ${\displaystyle p_{n+1}^{x}-p_{n}^{x}<1}$ для ${\displaystyle x<x_{\min }}$. См. также Гипотеза Крамера Гипотеза Лежандра Гипотеза Фирузбэхт Примечания Andrica, 1986, с. 44–48. Wells, 2005, с. 13. последовательность A038458 в OEIS Литература Richard K. Guy. Unsolved problems in number theory. — 3rd Ed. — Springer-Verlag, 2004. — ISBN 978-0-387-20860-2. Andrica D. Note on a conjecture in prime number theory // Studia Univ. Babes–Bolyai Math.. — 1986. — Т. 31, № 4. — С. 44–48. — ISSN 0252-1938. — . Ссылки Andrica’s Conjecture at PlanetMath Generalized Andrica conjecture Архивная копия от 27 декабря 2019 на Wayback Machine at PlanetMath Weisstein, Eric W. Andrica's Conjecture (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.