Меню Главная Случайная статья Настройки Гипотеза Крамера Материал из https://ru.wikipedia.org Гипотеза Крамера — теоретико-числовая гипотеза, сформулированная шведским математиком Харальдом Крамером в 1936 году,[1] утверждающая, что ${\displaystyle p_{n+1}-p_{n}=O(\ln ^{2}p_{n}),\ }$ где ${\displaystyle p_{n}}$ обозначает n-е простое число, а O — это O большое. Грубо говоря, это означает, что интервалы между последовательными простыми числами всегда маленькие. Также гипотезой Крамера называют чуть более сильное утверждение: ${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\ln ^{2}p_{n}}}=1.}$ Гипотеза Крамера пока не доказана и не опровергнута. Содержание 1 Эвристическое обоснование 2 Доказанные результаты о пробелах между простыми числами 3 Гипотеза Крамера — Гранвилла 4 См. также 5 Ссылки 6 Примечания Эвристическое обоснование Гипотеза Крамера основывается на вероятностной модели (существенно эвристической) распределения простых, в которой предполагается, что вероятность того, что натуральное число x является простым, равна примерно ${\displaystyle {\frac {1}{\ln x}}}$. Эта модель известна как Модель Крамера' простых. Крамер доказал в своей модели, что упомянутая гипотеза истинна с вероятностью 1[1]. Доказанные результаты о пробелах между простыми числами Крамер также дал условное доказательство более слабого утверждения о том, что ${\displaystyle p_{n+1}-p_{n}=O({\sqrt {p_{n}}}\ln p_{n})}$ предполагая истинной гипотезу Римана[1]. С другой стороны, E. Westzynthius доказал в 1931 году, что величина пробелов между простыми более чем логарифмическая. То есть,[2] ${\displaystyle \limsup _{n\to +\infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\ln p_{n}}}=\infty .}$ Гипотеза Крамера — Гранвилла Даниэль Шенкс предложил гипотезу об асимптотическом равенстве для наибольших интервалов ${\displaystyle G(x)}$ между простыми, не превышающими ${\displaystyle x}$. Гипотеза Шенкса несколько сильнее, чем гипотеза Крамера:[3] ${\displaystyle G(x)\sim \ln ^{2}x.}$ В вероятностной модели ${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\ln ^{2}p_{n}}}=c,}$ при этом ${\displaystyle c=1.}$ Но константа ${\displaystyle c}$ возможно не такая, как для простых, по теореме Майера. Эндрю Гранвилл в 1995 году утверждал, что константа ${\displaystyle c=2e^{-\gamma }\approx 1{,}1229\ldots }$[4], где ${\displaystyle \gamma }$ — постоянная Эйлера. М. Вольф[5] предложил формулу для максимального расстояния ${\displaystyle G(x)}$ между последовательными простыми числами меньшими ${\displaystyle x}$. Формула Вольфа выражает ${\displaystyle G(x)}$ через функцию распределения простых чисел ${\displaystyle \pi (x)}$: ${\displaystyle G(x)\sim {\frac {x}{\pi (x)}}(2\ln \pi (x)-\ln x+c_{0}),}$ где ${\displaystyle c_{0}=\ln C_{2}=0{,}2778769\dots }$, а ${\displaystyle C_{2}=1{,}3203236\dots }$ есть удвоенная константа простых-близнецов. Томас Найсли вычислил много наибольших пробелов между простыми.[6] Он проверил качество гипотезы Крамера, измерив отношение R логарифма простых к квадратному корню из размера пробела между простыми: ${\displaystyle R={\frac {\ln p_{n}}{\sqrt {p_{n+1}-p_{n}}}}.}$ Он писал: «Для известных максимальных пробелов между простыми R остаётся равным примерно 1,13», что показывает, как минимум в диапазоне его вычислений, что грэнвиллево улучшение гипотезы Крамера не представляется лучшим приближением для имеющихся данных. См. также Теорема о распределении простых чисел Интервалы между простыми числами Гипотеза Фирузбэхт — более сильная гипотеза Гипотеза Лежандра и гипотеза Андрицы — более слабые, но пока тоже не доказанные верхние оценки величины пробелов между простыми Ссылки Weisstein, Eric W. Cramr Conjecture (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. Weisstein, Eric W. Cramr-Granville Conjecture (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. Примечания 1 2 3 Cramr, Harald (1936), On the order of magnitude of the difference between consecutive prime numbers (PDF), Acta Arithmetica, 2: 23–46, Архивировано (PDF) 23 июля 2018, Дата обращения: 26 августа 2012 Источник . Дата обращения: 26 августа 2012. Архивировано 23 июля 2018 года..