Меню Главная Случайная статья Настройки Группа Кремоны Материал из https://ru.wikipedia.org Группа Кремоны — это группа бирациональных автоморфизмов ${\displaystyle n}$-мерного проективного пространства над полем ${\displaystyle k}$. Группу ввёл в рассмотрение в 1863—1865 годах Луиджи Кремона[1][2]. Группа обозначается как ${\displaystyle Cr(\mathbb {P} ^{n}(k))}$, ${\displaystyle Bir(\mathbb {P} ^{n}(k))}$ или ${\displaystyle Cr_{n}(k)}$. Группа Кремоны естественным образом отождествляется с группой автоморфизмов ${\displaystyle \mathrm {Aut} _{k}(k(x_{1},...,x_{n}))}$ поля рациональных функций от ${\displaystyle n}$ неизвестных над ${\displaystyle k}$, или трансцендентным расширением поля ${\displaystyle k}$ со степенью трансцендентности ${\displaystyle n}$. Проективная полная линейная группа порядка ${\displaystyle n+1}$ проективных преобразований содержится в группе Кремоны порядка ${\displaystyle n}$. Они совпадают только в случаях, когда ${\displaystyle n=0}$ или ${\displaystyle n=1}$, в которых числитель и знаменатель преобразования линейны. Содержание 1 Группа Кремоны в пространствах размерности 2 2 Группа Кремоны в пространствах размерности 3 и больше 3 Группы де Жонкьера 4 Примечания 5 Литература Группа Кремоны в пространствах размерности 2 В пространствах размерности два Гизатуллин[3] дал полное описание соотношений для системы образующих группы. Структура этой группы остаётся не вполне понятной, хотя имеется большое число работ по нахождению её элементов или подгрупп. Серж Канта и Стефан Лами[4] показали, что группа Кремоны не проста как абстрактная группа. Жереми Бланк показал, что группа не имеет нетривиальных нормальных подгрупп, замкнутых в естественной топологии. Долгачёва и Исковских написали статью о конечных подгруппах группы Кремоны[5]. Группа Кремоны в пространствах размерности 3 и больше Мало известно о структуре группы Кремоны в пространствах размерности 3 и выше, хотя много элементов этой группы описано. Бланк[6] показал, что она (линейно) связна, ответив на вопрос Серра[7]. Нет простого аналога теореме Нётера — Кастельнуово, поскольку Хадсон[8] показала, что группа Кремоны в размерности по меньшей мере 3 не порождается её элементами степени, ограниченной любым фиксированным числом. Группы де Жонкьера Группа де Жонкьера[9] — это подгруппа группы Кремоны следующего вида. Выберем базис трансцендентности ${\displaystyle x_{1},...,x_{n}}$ для расширения поля ${\displaystyle k}$. Тогда группа де Жонкьера — это подгруппа автоморфизмов ${\displaystyle k(x_{1},...,x_{n})}$, отображающих подполе ${\displaystyle k(x_{1},...,x_{r})}$ в себя для некоторого ${\displaystyle r\leqslant n}$. Она имеет нормальную подгруппу, заданную группой Кремоны автоморфизмов ${\displaystyle k(x_{1},...,x_{n})}$ над полем ${\displaystyle k(x_{1},...,x_{r})}$, а фактор-группа является группой Кремоны ${\displaystyle k(x_{1},...,x_{r})}$ над полем ${\displaystyle k}$. Она может считаться группой бирациональных автоморфизмов расслоённого пучка ${\displaystyle \mathbb {P} ^{r}\times \mathbb {P} ^{n-r}\to \mathbb {P} ^{r}}$. Если ${\displaystyle n=2}$ и ${\displaystyle r=1}$, группа де Жонкьера является группой Кремоны преобразований, сохраняющих пучок прямых через данную точку, и она является полупрямым произведением ${\displaystyle \mathrm {PGL} _{2}(k)}$ и ${\displaystyle \mathrm {PGL} _{2}(k(t))}$. Примечания Cremona, 1863, с. 305–311. Cremona, 1865, с. 269–280, 363–376. Гизатуллин, 1982. Cantat, Lamy, 2010. Dolgachev, Iskovskikh, 2009. Blanc, 2010. Serre, 2010. Hudson, 1927. Имеется разное написание фамилии. Так, И. Р. Шафаревич пишет её через дефис: де-Жонкьер. Шафаревич даёт следующее определение группы де-Жонкьера: преобразование де-Жонкьера: ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\to (y_{1},y_{2},\dots ,y_{n})}$, где ${\displaystyle y_{i}=a_{i}x_{i}+f_{i}(x_{i+1},\dots ,x_{n}),a_{i}\neq 0}$ и ${\displaystyle f_{i}}$ — произвольный многочлен от переменных ${\displaystyle x_{i+1},\dots ,x_{n}}$. Литература Maria Alberich-Carramiana. Geometry of the plane Cremona maps. — Berlin, New York: Springer-Verlag, 2002. — Т. 1769. — (Lecture Notes in Mathematics). — ISBN 978-3-540-42816-9. — doi:10.1007/b82933. Jrmy Blanc. Groupes de Cremona, connexit et simplicit // Annales Scientifiques de l'cole Normale Suprieure. — 2010. — Т. 43, вып. 2. — С. 357–364. — ISSN 0012-9593. — doi:10.24033/asens.2123. Serge Cantat, Stphane Lamy. Normal subgroups in the Cremona group // Acta Mathematica. — 2010. — Т. 210, вып. 2013. — С. 31–94. — . — arXiv:1007.0895. Cremona L. Sulla trasformazioni geometiche delle figure piane // Giornale di matematiche di Battaglini. — 1865. — Т. 3. Michel Demazure. Sous-groupes algbriques de rang maximum du groupe de Cremona // Annales Scientifiques de l'cole Normale Suprieure. — 1970. — Т. 3. — С. 507–588. — ISSN 0012-9593. Гизатуллин М. Х. Определяющие соотношения для кремоновой группы плоскости // Изв. АН СССР.. — 1982. — Т. 46, № 5. — С. 211–268. Jean-Pierre Serre. A Minkowski-style bound for the orders of the finite subgroups of the Cremona group of rank 2 over an arbitrary field // Moscow Mathematical Journal. — 2009. — Т. 9, вып. 1. — С. 193–208. — ISSN 1609-3321.