Меню Главная Случайная статья Настройки Рациональная функция Материал из https://ru.wikipedia.org Рациональная функция (англ. Rational function), или дробно-рациональная функция, или рациональная дробь — это числовая функция, которая может быть представлена в виде дроби, числителем и знаменателем которой являются многочлены. К этому виду может быть приведено любое рациональное выражение, то есть алгебраическое выражение, без радикалов. Содержание 1 Формальное определение 1.1 Частные случаи 1.2 Обобщения 2 Вещественная рациональная функция 2.1 Несократимая рациональная дробь 2.2 Правильная рациональная дробь 2.3 Простейшая рациональная дробь 2.4 Разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших дробей 3 Свойства 4 Правильные дроби 5 См. также 6 Примечания 7 Источники Формальное определение Рациональная функция[1][2][3], или дробно-рациональная функция[1][4], или рациональная дробь[4] — это числовая функция вида ${\displaystyle \mathbb {U} \to \mathbb {U} :w=R(u),}$ где ${\displaystyle \mathbb {U} }$ — комплексные (${\displaystyle \mathbb {C} }$) или вещественные (${\displaystyle \mathbb {R} }$) числа, ${\displaystyle R(u)}$ — рациональное выражение от ${\displaystyle u}$. Рациональное выражение — это математическое выражение, составленное из независимого переменного (комплексного или вещественного) и конечного набора чисел (соответственно комплексных или вещественных) с помощью конечного числа арифметических действий (то есть сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целую степень)[5]. Рациональная функция допускает запись (не единственным образом) в виде отношения двух многочленов ${\displaystyle P(u)}$ и ${\displaystyle Q(u)}$: ${\displaystyle R(u)={\frac {P(u)}{Q(u)}}={\frac {a_{0}+a_{1}u+a_{2}u^{2}+\cdots +a_{n}u^{n}}{b_{0}+b_{1}u+b_{2}u^{2}+\cdots +b_{m}u^{m}}},}$ где ${\displaystyle Q(u)\not \equiv 0.}$ Коэффициенты рациональной функции — это коэффициенты многочленов ${\displaystyle P(u)}$ и ${\displaystyle Q(u)}$: ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}}$ и ${\displaystyle b_{0},b_{1},b_{2},\dots ,b_{m}}$[5][3]. Частные случаи Целая рациональная функция — функция вида ${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} :y={\frac {P(x)}{1}},}$ где переменная ${\displaystyle x}$ действительна. Дробно-линейная функция — отношение двух линейных функций комплексного переменного: ${\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} :w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d}}.}$ Преобразование Кэли ${\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} :w=W(z)={\frac {z-i}{z+i}}.}$ Функция Жуковского — рациональная функция комплексного переменного ${\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} :w=\lambda (z)={\frac {1}{2}}\left(z+{\frac {1}{z}}\right),}$ имеющая важные применения в гидромеханике, открытые Н. Е. Жуковским[6]. Обобщения Рациональные функции от нескольких переменных (комплексных или вещественных) ${\displaystyle \mathbb {U} ^{\max(n,m)}\to \mathbb {U} :w=R(u_{1},u_{2},\dots ,u_{\max(n,m)})={\frac {P(u_{1},u_{2},\dots ,u_{n})}{Q(u_{1},u_{2},\dots ,u_{m})}},}$ где ${\displaystyle Q(u_{1},u_{2},\dots ,u_{m})\not \equiv 0}$[5]. Абстрактные рациональные функции ${\displaystyle R={\frac {A_{1}F_{1}+A_{2}F_{2}+\cdots +A_{n}F_{n}}{B_{1}F_{1}+B_{2}F_{2}+\cdots +B_{m}F_{m}}},}$ где ${\displaystyle F_{1},F_{2},\dots ,F_{\max(n,m)}}$ — линейно независимая система непрерывных функций на некотором компактном пространстве, ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots ,A_{n},}$ и ${\displaystyle B_{1},B_{2},\dots ,B_{m}}$ — числовые коэффициенты[5]. Вещественная рациональная функция Несократимая рациональная дробь Несократимая рациональная дробь — это рациональная дробь, у которой числитель взаимно прост со знаменателем[4]. Любая рациональная дробь равна некоторой несократимой дроби, которая определяется с точностью до константы, общей для числителя и знаменателя. Равенство двух рациональных дробей понимается в том же смысле, что и равенство дробей в элементарной математике[4]. Сначала докажем, что если произведение многочленов ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle g(x)}$ делится на ${\displaystyle \varphi (x)}$, причём ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle \varphi (x)}$ взаимно просты, то ${\displaystyle g(x)}$ делится на ${\displaystyle \varphi (x)}$[7]. 1. Известно, что многочлены ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle \varphi (x)}$ взаимно просты тогда и только тогда, когда существуют такие многочлены ${\displaystyle u(x)}$ и ${\displaystyle v(x)}$, что ${\displaystyle f(x)u(x)+\varphi (x)v(x)=1.}$ 2. Умножим это равенство на ${\displaystyle g(x)}$: ${\displaystyle [f(x)g(x)]u(x)+g(x)[\varphi (x)v(x)]=g(x).}$ 3. Оба слагаемых этого равенства делятся на ${\displaystyle \varphi (x)}$, следовательно, ${\displaystyle g(x)}$ также делится на ${\displaystyle \varphi (x)}$. Теперь, используя это, докажем, что любая рациональная дробь равна некоторой несократимой дроби, которая определяется с точностью до константы, общей для числителя и знаменателя[4]. 1. Любую рациональную дробь можно сократить на наибольший общий делитель её числителя и знаменателя. 2. Далее, если две несократимые дроби равны: ${\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\varphi (x)}{\psi (x)}},}$ то есть ${\displaystyle f(x)\psi (x)=g(x)\varphi (x).}$ то: из взаимной простоты ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle g(x)}$ следует, что ${\displaystyle \varphi (x)}$ делится на ${\displaystyle f(x)}$; из взаимной простоты ${\displaystyle \varphi (x)}$ и ${\displaystyle \psi (x)}$ следует, что ${\displaystyle f(x)}$ делится на ${\displaystyle \varphi (x)}$. В итоге получаем, что ${\displaystyle f(x)=c\varphi (x).}$ 3. Подставим последнее выражение в исходное, получим: ${\displaystyle c\varphi (x)\psi (x)=g(x)\varphi (x),}$ или ${\displaystyle g(x)=c\psi (x).}$ Итак, получили, что ${\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {c\varphi (x)}{c\psi (x)}}.}$ Правильная рациональная дробь Рациональная дробь правильная, если степень числителя меньше степени знаменателя. Нулевой многочлен 0 является правильной дробью. Любая рациональная дробь единственным способом представима как сумма многочлена и правильной дроби[4].