Меню Главная Случайная статья Настройки Группа кватернионов Материал из https://ru.wikipedia.org В теории групп группа кватернионов — это неабелева группа восьмого порядка, изоморфная набору из восьми кватернионов с операцией умножения. Она часто обозначается буквой Q или Q8, и определяется заданием группы ${\displaystyle Q=\langle -1,i,j,k\mid (-1)^{2}=1,\;i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1\rangle ,}$ где 1 — единичный элемент, а элемент 1 коммутирует с остальными элементами группы. Содержание 1 Граф Кэли 2 Таблица Кэли 3 Свойства 4 Матричное представление 5 Группа Галуа 6 Обобщённая группа кватернионов 7 См. также 8 Примечания 9 Литература 10 Внешние ссылки Граф Кэли Группа Q8 имеет тот же порядок, что и диэдрическая группа D4[англ.], но имеет другую структуру, что можно видеть на графах Кэли и диаграммах циклов: Граф Кэли Граф циклов Q8 Красные стрелки обозначают умножение справа на i, а зелёные — умножение справа на j. D4 Диэдрическая группа Q8 Dih4 Диэдрическая группа D4 получается из сплит-кватернионов[англ.] таким же образом, что и Q8 из кватернионов. Таблица Кэли Таблица Кэли (таблица умножения) для Q[1]: QQ 1 1 i i j j k k 1 1 1 i i j j k k 1 1 1 i i j j k k i i i 1 1 k k j j i i i 1 1 k k j j j j j k k 1 1 i i j j j k k 1 1 i i k k k j j i i 1 1 k k k j j i i 1 1 Умножение шести мнимых единиц {±i, ±j, ±k} действует как векторное произведение единичных векторов в трёхмерном евклидовом пространстве. ${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}ij&=k,&ji&=-k,\\jk&=i,&kj&=-i,\\ki&=j,&ik&=-j.\end{alignedat}}}$ Свойства Группа кватернионов имеет необычное свойство гамильтоновости — любая подгруппа группы Q является нормальной подгруппой, и при этом сама группа не является абелевой.[2] Любая гамильтонова группа содержит копию группы Q.[3] Можно построить четырёхмерное векторное пространство с базисом {1, i, j, k} и превратить его в ассоциативную алгебру с использованием приведённой выше таблицы умножения базисных векторов и продолжив операцию умножения по дистрибутивности. Полученная алгебра будет телом кватернионов. Заметим, что это не то же самое, что и групповая алгебра Q (которая имеет размерность 8). Обратно, можно начать с кватернионов и определить группу кватернионов как мультипликативную подгруппу, состоящую из восьми элементов {1, 1, i, i, j, j, k, k}. Комплексное четырёхмерное векторное пространство с тем же базисом называется алгеброй бикватернионов. Заметим, что i, j и k имеют порядок 4 в Q и любые два из них порождают всю группу. Другое задание группы Q[4], показывающее это: ${\displaystyle \langle x,y\mid x^{4}=1,x^{2}=y^{2},y^{-1}xy=x^{-1}\rangle .}$ Можно, например, взять i = x, j = y и k = xy. Центром и коммутантом группы Q является подгруппа {±1}. Факторгруппа Q/{±1} изоморфна четверной группе Клейна V. Группа внутренних автоморфизмов группы Q изоморфна факторгруппе Q по центру, и потому также изоморфна четверной группе Клейна. Полная группа автоморфизмов группы Q изоморфна S4, симметрической группе четырёх букв. Группой внешних автоморфизмов[англ.] группы Q является S4/V, которая изоморфна S3. Матричное представление Группа кватернионов может быть представлена как подгруппа полной линейной группы GL2(C). Представление ${\displaystyle Q=\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\}\to \mathrm {GL} _{2}(\mathbf {C} )}$ определяется матрицами[5] ${\displaystyle 1\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle i\mapsto {\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle j\mapsto {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle k\mapsto {\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}}$ Поскольку все из приведённых выше матриц имеют единичные определители, они задают представление группы Q в специальной линейной группе SL2(C). Существует также важное действие группы Q на восьми ненулевых элементах двумерного векторного пространства над конечным полем F3. Представление ${\displaystyle Q=\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\}\to \mathrm {GL} (2,3)}$ определяется матрицами ${\displaystyle 1\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle i\mapsto {\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle j\mapsto {\begin{pmatrix}-1&1\\1&1\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle k\mapsto {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}}$ где {1,0,1} — три элемента поля F3. Поскольку определитель всех матриц над полем F3 равен единице, это является представлением группы Q в специальной линейной группе SL(2, 3). Более того, группа SL(2, 3) имеет порядок 24, а Q является нормальной подгруппой группы SL(2, 3) с индекса 3. Группа Галуа Как показал Ричард Дин (Richard Dean) в 1981 году, группа кватернионов может быть задана как группа Галуа Gal(T/Q), где Q является полем рациональных чисел, а T является полем разложения многочлена ${\displaystyle x^{8}-72x^{6}+180x^{4}-144x^{2}+36}$ над Q. Доказательство использует основную теорему теории Галуа, а также две теоремы о циклических расширениях степени 4.[6] Обобщённая группа кватернионов Группа называется обобщённой группой кватернионов (или дициклической группой), если она имеет задание [4] ${\displaystyle \langle x,y\mid x^{2n}=y^{4}=1,x^{n}=y^{2},y^{-1}xy=x^{-1}\rangle .}$ для некоторого целого n 2. Эта группа обозначается как Q4n и имеет порядок 4n.[7] Коксетер обозначил эти дициклические группы как <2,2,n>, рассматривая их как частный случай бинарной полиэдральной группы[англ.] , связанной с полиэдральными группами[англ.] (p,q,r) и диэдральной группой (2,2,n). Обычная кватернионная группа соответствует случаю n = 2. Обобщённая кватернионная группа изоморфна подгруппе группы GL2(C), порождённой элементами ${\displaystyle \left({\begin{array}{cc}\omega _{n}&0\\0&{\overline {\omega }}_{n}\end{array}}\right)}$ и ${\displaystyle \left({\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}}\right)}$ где n = ei/n[4]. Она также изоморфна группе, порождённой [8] кватернионами x = ei/n и y = j. Теорема Брауэра — Сузуки[англ.] утверждает, что группы, для которых силовские 2-подгруппы являются обобщёнными кватернионами, не могут быть простыми. См. также Бинарная группа тетраэдра Алгебра Клиффорда Дициклическая группа Кватернион Гурвица Список групп малого порядка Шестнадцатиячейник Примечания См. также a table таблицу Архивная копия от 28 апреля 2018 на Wayback Machine на сайте Wolfram Alpha См. книгу Холла (1999), p. 190 Архивная копия от 6 августа 2021 на Wayback Machine Курош А.Г. Теория групп. — М.: Наука, 1967. — С. 57. 1 2 3 Johnson, 1980, с. 44-45. Artin, 1991. Dean, Richard (1981). "A Rational Polynomial whose Group is the Quaternions". The American Mathematical Monthly 88 (1): 42–45. . Некоторые авторы (например, Rotman, 1995, pp. 87, 351) называют эту группу дициклической группой, оставляя название обобщённая группа кватернионов для случая, когда n является степенью двойки. Brown, 1982, с. 98. Литература Richard A. Dean. A rational polynomial whose group is the quaternions // American Mathematical Monthly. — 1981. — С. 88:42–5. P.R. Girard. The quaternion group and modern physics // European Journal of Physics. — 1984. — С. 5:25–32. Внешние ссылки Weisstein, Eric W. Quaternion group (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.