Меню Главная Случайная статья Настройки Полная линейная группа Материал из https://ru.wikipedia.org Полная линейная группа (иногда используют термин общая линейная группа) относится к двум различным (хотя и тесно связанным) понятиям. Полная линейная группа векторного пространства V — это группа обратимых линейных операторов вида Обычно обозначается Полная линейная группа порядка Обычно обозначается Так, если рассматриваются матрицы над действительными числами, полная линейная группа порядка Оба рассмотренных понятия в действительности тесно связаны. Во-первых, квадратную матрицу порядка n можно рассматривать как линейный оператор, действующий на арифметическом векторном пространстве Во-вторых, введение базиса в n-мерном векторном пространстве V над полем скаляров K позволяет взаимно однозначно сопоставить линейному оператору  C : V  V  его матрицу — квадратную матрицу порядка n из компонент оператора C в этом базисе. При этом обратимому оператору будет отвечать невырожденная матрица, и мы получаем взаимно однозначное соответствие между группами GL(V) и GL(n, K) (это соответствие в действительности является изоморфизмом данных групп). Содержание 1 Свойства 2 Примечания 3 Литература 4 См. также Свойства Если V — векторное пространство над полем скаляров K, то полная линейная группа пространства V представляет собой группу всех автоморфизмов пространства V. Группу GL(V) и её подгруппы называют линейными группами. В полной линейной группе GL(n, K) можно выделить подгруппу SL(n, K), состоящую из всех матриц с определителем, равным 1. Это — специальная линейная группа порядка n, обозначаемая SL(n, K). Другие важные подгруппы группы GL(n, K): Диагональная группа — группа D(n, K), состоящая из всех диагональных матриц порядка n; Треугольная группа — группа T(n, K), состоящая из невырожденных верхних треугольных матриц порядка n (то есть матриц, у которых все элементы под главной диагональю нулевые); Унитреугольная группа — группа UT(n, K), состоящая из тех верхних треугольных матриц порядка n, у которых диагональные элементы равны 1. Группу GL(n, K) и её подгруппы часто называют матричными группами (заметьте, что их можно именовать и линейными группами, а вот группа GL(V) — линейная, но не матричная). В частности, подгруппами группы GL(n, R) являются специальная линейная группа SL(n, R), ортогональная группа O(n), специальная ортогональная группа SO(n) и др. Подгруппами группы GL(n, C) являются специальная линейная группа SL(n, C), унитарная группа U(n), специальная унитарная группа SU(n) порядка n и др. Полные линейные группы GL(n, R) и GL(n, C) (как и перечисленные в двух предыдущих абзацах их основные подгруппы) являются[5] группами Ли. Эти группы важны в теории представлений групп; возникают они и при изучении различного рода симметрий. Заметим ещё, что при n = 1  группа GL(n, K) фактически сводится к группе (K *, •) ненулевых скаляров поля K (обе группы канонически изоморфны) и поэтому является абелевой (коммутативной). При n, большем 1, группы GL(n, K) абелевыми не являются. Примечания Кострикин, Манин, 1986, с. 24. Платонов В. П.  Полная линейная группа // Матем. энциклопедия. Т. 4. — М.: Сов. энциклопедия, 1984. — Стб. 416—417. Рохлин В. А., Фукс Д. Б.  Начальный курс топологии. геометрические главы. — М.: Наука, 1977. — С. 268—271. Кострикин, Манин, 1986, с. 34. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т.  Современная геометрия: методы и приложения. — М.: Наука, 1986. — С. 420. Литература Кострикин А. И.  Введение в алгебру. — М.: Наука, 1977. — 496 с. Кострикин А. И., Манин Ю. И.  Линейная алгебра и геометрия. — М.: Наука, 1986. — 304 с. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И.  Основы теории групп. — М.: Наука, 1972. — 240 с. См. также Проективная группа