Меню Главная Случайная статья Настройки Делитель нуля Материал из https://ru.wikipedia.org Делитель нуля — ненулевой элемент ${\displaystyle a}$ кольца, для которого существует другой ненулевой элемент ${\displaystyle b}$, произведение с которым даёт нулевой элемент: ${\displaystyle ab=0}$ или ${\displaystyle ba=0}$. Элемент ${\displaystyle a}$ является левым делителем нуля, если существует ненулевой ${\displaystyle b}$ такой, что ${\displaystyle ab=0}$, и, соответственно, правым делителем нуля, если существует ненулевой ${\displaystyle b}$, при котором ${\displaystyle ba=0}$. В коммутативном кольце понятия правого и левого делителя нуля совпадают. Понятие естественным образом обобщается на полугруппы с нулём. Элемент кольца, который не является ни правым, ни левым делителем нуля, называется регулярным элементом[1]. Нуль кольца называется несобственным (или тривиальным) делителем нуля. Соответственно, элементы, отличные от нуля и являющиеся делителями нуля, называются собственными (нетривиальными) делителями нуля. Область целостности — коммутативное кольцо с единицей, в котором нет нетривиальных делителей нуля[2]. Содержание 1 Свойства 2 Примеры 3 Примечания 4 Литература 5 Ссылки Свойства Если ${\displaystyle a}$ не является левым делителем нуля, то равенство ${\displaystyle ab=ac}$ можно сократить на ${\displaystyle a}$; аналогично с правым делителем нуля. В частности, в области целостности сокращение на ненулевой множитель всегда возможно[2]. Множество регулярных элементов коммутативного кольца замкнуто относительно умножения. Обратимые элементы кольца не могут быть делителями нуля[1]. Обратимые элементы кольца часто называют «делителями единицы», поэтому предыдущее утверждение можно сформулировать иначе: делитель единицы не может быть одновременно делителем нуля. Отсюда следует, что ни в каком теле или поле делителей нуля быть не может[3]. В коммутативном конечном кольце с единицей каждый ненулевой элемент либо обратим, либо является делителем нуля. Следствие: нетривиальное коммутативное конечное кольцо без делителей нуля является полем (существование в кольце единицы может быть строго доказано). Линейно упорядоченное кольцо со строгим порядком (то есть если произведение положительных элементов положительно) не содержит делителей нуля[4], см. также ниже пример упорядоченного кольца с делителями нуля. Нильпотентный элемент кольца всегда является (и левым, и правым) делителем нуля. Идемпотентный элемент кольца ${\displaystyle c}$, отличный от единицы, также является делителем нуля, поскольку ${\displaystyle c(1-c)=0}$. Примеры Кольцо целых чисел не содержит нетривиальных делителей нуля и является областью целостности. В кольце вычетов ${\displaystyle \mathbb {Z} _{m}}$ по модулю ${\displaystyle m}$, если ${\displaystyle k}$ не взаимно просто с ${\displaystyle m}$, то вычет ${\displaystyle k}$ является делителем нуля. Например, в кольце ${\displaystyle \mathbb {Z} _{6}}$ элементы 2, 3, 4 — делители нуля: ${\displaystyle 2_{6}\cdot 3_{6}=0;\ 4_{6}\cdot 3_{6}=0}$. В кольце матриц порядка 2 или более также имеются делители нуля, например: ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}}$. Поскольку определитель произведения равен произведению определителей сомножителей, произведение матриц будет нулевой матрицей только если определитель по крайней мере одного из сомножителей равен нулю. Несмотря на некоммутативность умножения матриц, понятия левого и правого делителей нуля в этом кольце совпадают; все делители нуля — это вырожденные матрицы с нулевым определителем. Пример упорядоченного кольца с делителями нуля: если в аддитивной группе целых чисел положить все произведения равными нулю, то получится упорядоченное кольцо, в котором любой элемент является делителем нуля (единица тогда не является нейтральным элементом для умножения, так что получается кольцо без единицы)[5][6]. Примечания 1 2 Зарисский, Самюэль, 1963, с. 19. 1 2 Ван дер Варден. Алгебра, 1975, с. 52. Ван дер Варден. Алгебра, 1975, с. 55. Нечаев, 1975, с. 90. Бурбаки Н. Алгебра. Алгебраические структуры. Линейная алгебра. — М.: Наука, 1962. — С. 137. — 517 с. Литература Ссылки Weisstein, Eric W. Zero Divisor (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.