Меню Главная Случайная статья Настройки Упорядоченное кольцо Материал из https://ru.wikipedia.org Упорядоченное кольцо в общей алгебре — это кольцо ${\displaystyle R}$ (обычно коммутативное), для всех элементов которого определён линейный порядок, согласованный с операциями кольца. Наиболее практически важными примерами являются кольцо целых чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ и кольца целых кратных. Содержание 1 Определение 2 Примеры упорядоченных колец 3 Связанные определения 4 Основные свойства 5 Примеры колец и полей, которые не допускают упорядочения 6 Абсолютная величина 7 Вариации и обобщения 8 Примечания 9 Литература 10 Ссылки Определение Пусть ${\displaystyle R}$ — кольцо, для элементов которого определён линейный порядок, то есть задано отношение ${\displaystyle \leqslant }$ (меньше или равно) со следующими свойствами[1]. Рефлексивность: ${\displaystyle x\leqslant x}$. Транзитивность: если ${\displaystyle x\leqslant y}$ и ${\displaystyle y\leqslant z}$, то ${\displaystyle x\leqslant z}$. Антисимметричность: если ${\displaystyle x\leqslant y}$ и ${\displaystyle y\leqslant x}$, то ${\displaystyle x=y}$. Линейность: все элементы ${\displaystyle F}$ сравнимы между собой, то есть либо ${\displaystyle x\leqslant y}$, либо ${\displaystyle y\leqslant x}$. Кроме того, потребуем, чтобы порядок был согласован с операциями сложения и умножения кольца: Если ${\displaystyle x\leqslant y}$, то для любого z: ${\displaystyle x+z\leqslant y+z}$. Если ${\displaystyle 0\leqslant x}$ и ${\displaystyle 0\leqslant y}$, то ${\displaystyle 0\leqslant xy}$. Если все 6 аксиом выполнены, то кольцо ${\displaystyle R}$ называется упорядоченным[2]. Примеры упорядоченных колец Кольцо целых чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$ Кольцо чётных чисел и вообще любое кольцо чисел, кратных заданному ненулевому вещественному числу ${\displaystyle k}$ (не обязательно целому). Любое упорядоченное поле — например, поля рациональных и вещественных чисел) являются также упорядоченными кольцами. Пример упорядоченного кольца с делителями нуля: если в аддитивной группе целых чисел положить все произведения равными нулю, то получится упорядоченное кольцо, в котором любой элемент является делителем нуля (единица тогда не является нейтральным элементом для умножения, так что получается кольцо без единицы)[3][4]. Связанные определения Для удобства записи вводятся дополнительные вторичные отношения: Отношение больше или равно: ${\displaystyle x\geqslant y}$ означает, что ${\displaystyle y\leqslant x}$. Отношение больше: ${\displaystyle x>y}$ означает, что ${\displaystyle x\geqslant y}$ и ${\displaystyle x\neq y}$. Отношение меньше: ${\displaystyle x<y}$ означает, что ${\displaystyle y>x}$. Формула с любым из этих 4 отношений называется неравенством. Элементы, большие нуля, называются положительными, а меньшие нуля — отрицательными. Множество положительных элементов упорядоченного кольца ${\displaystyle R}$ часто обозначается через ${\displaystyle R_{+}.}$ Дискретное упорядоченное кольцо — это упорядоченное кольцо, в котором нет элементов между 0 и 1. Целые числа представляют собой дискретное упорядоченное кольцо, а рациональные числа — нет. Основные свойства Для всех ${\displaystyle x,y,z\in R}$ имеют место следующие свойства. Всякий элемент упорядоченного кольца относится к одной и только одной из трёх категорий: положительные, отрицательные, нуль. Если ${\displaystyle x}$ положителен, то ${\displaystyle -x}$ отрицателен, и наоборот. Однотипные неравенства можно складывать: Если ${\displaystyle x\leqslant y}$ и ${\displaystyle x'\leqslant y'}$, то ${\displaystyle x+x'\leqslant y+y'}$. Неравенства можно умножать на неотрицательные элементы: Если ${\displaystyle x\leqslant y}$ и ${\displaystyle z\geqslant 0}$, то ${\displaystyle zx\leqslant zy}$. Упорядоченное кольцо не имеет делителей нуля тогда и только тогда, когда произведение положительных элементов положительно. Правило знаков: произведение ненулевых элементов с одинаковыми знаками неотрицательно (если в кольце нет делителей нуля, то положительно), а произведение положительного элемента на отрицательный неположительно (если нет делителей нуля, то отрицательно), Следствие 1: в упорядоченном кольце квадрат ненулевого элемента всегда неотрицателен (а если нет делителей нуля, то положителен)[5]. Следствие 2: в упорядоченном кольце с единицей всегда ${\displaystyle 1>0}$ (так как 1 есть квадрат самой себя)[4]. Упорядоченное кольцо, которое не является тривиальным (то есть содержит не только ноль), бесконечно. Любое упорядоченное кольцо с единицей и без делителей нуля содержит одно и только одно подкольцо, изоморфное кольцу ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ целых чисел[6]. Примеры колец и полей, которые не допускают упорядочения Комплексные числа не образуют упорядоченного кольца, потому что в упорядоченном кольце, как указано выше, квадрат элемента всегда неотрицателен, и мнимая единица не может в него входить. Конечные поля. p-адические числа. Абсолютная величина Определим абсолютную величину элемента ${\displaystyle x:}$ ${\displaystyle |x|=\max(x,-x)}$ Здесь функция ${\displaystyle \max }$ осуществляет выбор наибольшего значения. Она обладает следующими свойствами (для всех ${\displaystyle x,y}$ из кольца)[7]. ${\displaystyle |x|=0}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle x=0}$. Для всех ненулевых ${\displaystyle x}$ и только для них ${\displaystyle |x|>0}$. Абсолютные величины противоположных чисел совпадают: ${\displaystyle |x|=|{-x}|}$ Неравенство треугольника: ${\displaystyle |x+y|\leqslant |x|+|y|}$. Мультипликативность: ${\displaystyle |xy|=|x||y|.}$ ${\displaystyle |x|\leqslant y}$ равносильно ${\displaystyle -y\leqslant x\leqslant y}$ Вариации и обобщения Теория упорядоченных колец охватывает также особые случаи некоммутативных (или даже неассоциативных) колец. Исследуются и другие вариации: Кольцо является не линейным, а лишь частично упорядоченным, то есть не все элементы можно сравнить с помощью заданного порядка[8]. Вместо кольца имеется полукольцо, то есть в нём, вообще говоря, нет вычитания[9]. Пример: натуральный ряд, расширенный нулём. Примечания Lam, T. Y. (1983), Orderings, valuations and quadratic forms, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, vol. 52, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0702-1 Бурбаки, 1965, с. 271. 1 2 Бурбаки, 1965, с. 272. Нечаев, 1975, с. 90. Нечаев, 1975, с. 100. Нечаев, 1975, с. 91. Partially ordered ring  (неопр.). Дата обращения: 27 января 2019. Архивировано 27 января 2019 года. Нечаев, 1975, с. 88—89. Литература Ссылки Ordered ring на сайте PlanetMath  (англ.).