Меню Главная Случайная статья Настройки Диагональ Материал из https://ru.wikipedia.org Диагональ (греч. ; от - «через» + «угол») — в элементарной геометрии отрезок, соединяющий несмежные вершины многоугольника или многогранника[1]. По аналогии используется также при наглядном описании квадратных матриц, в теории множеств и теории графов. Содержание 1 Многоугольники и многогранники 2 Матрицы 3 Теория множеств 4 Примечания 5 Ссылки Многоугольники и многогранники Для многоугольников диагональ — это отрезок, соединяющий две несмежные вершины. Так, четырёхугольник имеет две диагонали, соединяющие противолежащие вершины. У выпуклого многоугольника диагонали проходят внутри него. Многоугольник выпуклый тогда и только тогда, когда его диагонали лежат внутри. Пусть ${\displaystyle n}$ — число вершин многоугольника, вычислим ${\displaystyle d}$ — число возможных разных диагоналей. Каждая вершина соединена диагоналями со всеми другими вершинами, кроме двух соседних и, естественно, себя самой. Таким образом, из одной вершины можно провести ${\displaystyle n-3}$ диагонали; перемножим это на число вершин ${\displaystyle (n-3)\times n}$, однако, мы посчитали каждую диагональ дважды (по разу для каждого конца) — отсюда, ${\displaystyle d={\frac {n^{2}-3n}{2}}.}$ Диагональю многогранника называется отрезок, соединяющий две его вершины, не принадлежащие одной грани. Так, на изображении куба отмечена диагональ ${\displaystyle A'C}$. Отрезок же ${\displaystyle B'D'}$ диагональю куба не является (но является диагональю одной из его граней). Аналогично можно определить диагональ и для многогранников в пространствах больших размерностей. Матрицы В случае с квадратными матрицами, главная диагональ является диагональной линией элементов, которая проходит с северо-запада на юго-восток. Например, единичная матрица может быть описана, как матрица, имеющая единицы на главной диагонали и нули вне её. Наддиагональными элементами называются такие, что лежат выше и правее главной диагонали. Поддиагональными — те, что ниже и левее. Диагональная матрица — такая матрица, у которой все элементы вне главной диагонали (т.е. наддиагональные и поддиагональные) равны нулю. Диагональ с юго-запада на северо-восток часто называется побочной диагональю. Теория множеств По аналогии, подмножество декартового произведения XX произвольного множества X на само себя, состоящее из пар элементов (x, x), называется диагональю множества. Это — единичное отношение, оно играет важную роль в геометрии: например, константные элементы отображения F с X в X могут быть получены сечением F с диагональю множества X. Примечания Диагональ : [арх. 21 апреля 2021] // Григорьев — Динамика. — М. : Большая российская энциклопедия, 2007. — С. 703. — (Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов ; 2004—2017, т. 8). — ISBN 978-5-85270-338-5. Ссылки Диагонали многоугольника Архивная копия от 30 октября 2006 на Wayback Machine с интерактивными анимациями Диагонали многоугольника Архивная копия от 12 октября 2006 на Wayback Machine с MathWorld. Диагонали Архивная копия от 12 ноября 2006 на Wayback Machine матриц от MathWorld.