Меню
Главная
Случайная статья
Настройки
|
Диаграмма Венна (также используется название диаграмма Эйлера — Венна) — схематичное изображение всех возможных отношений (объединение, пересечение,
разность, симметрическая разность) нескольких (часто — трёх) подмножеств универсального множества. На диаграммах Венна универсальное множество изображается множеством точек некоторого прямоугольника, в котором располагаются в виде кругов или других простых фигур все остальные рассматриваемые множества[1][2].
Диаграммы Венна применяются при решении задач вывода логических следствий из посылок, выражаемых на языке формул классического исчисления высказываний и классического исчисления одноместных предикатов[3], для:
- описания функционирования формальных нейронов Мак-Каллока и сетей из них[4];
- синтеза надежных сетей из не вполне надежных элементов[5];
- построения управляющих и самоуправляющихся систем и блочного анализа и синтеза сложных устройств[6];
- получения логических следствий из заданной информации, минимизации формул исчислений[7][8].
Диаграммы Венна при помощи фигур изображают все комбинаций свойств, то есть конечную булеву алгебру[9]. При диаграмма Эйлера — Венна обычно изображается в виде трёх кругов с центрами в вершинах равностороннего треугольника и одинаковым радиусом, приблизительно равным длине стороны треугольника.
Дальнейшим развитием аппарата диаграмм Венна в классическом исчислении высказываний является аппарат вероятностных диаграмм [10], понятие сети диаграмм, использующей диаграммы Венна как операторы[11].
Они появились в сочинениях английского логика Джона Венна (1834—1923), подробно изложившего их в книге «Символическая логика», изданной в Лондоне в 1881 году.
Содержание
Связь диаграмм Эйлера и Венна
Диаграммы Эйлера в отличие от диаграмм Венна изображают отношения между множествами: непересекающиеся множества изображены непересекающимися кругами, а подмножества изображены вложенными кругами.
Диаграммы Венна основаны на существенно иной идее, чем круги Эйлера[12]. Круги Эйлера возникли на основе идей силлогистики Аристотеля. Диаграммы Венна были созданы для решения задач математической логики. Их основная идея разложения на конституенты возникла на основе алгебры логики[12].
На рис. ниже даны диаграммы Эйлера и Венна для 3 множеств однозначных натуральных чисел:
-
диаграмма Эйлера
-
диаграмма Венна
Иногда, если какая-то комбинация свойств соответствует пустому множеству, то эту комбинацию закрашивают.
На рисунке справа даны 22 существенно различных диаграмм Венна с 3 кругами (сверху) и соответствующие им диаграммы Эйлера (снизу).
Некоторые из диаграмм Эйлера не типичны, а некоторые даже эквивалентны диаграммам Венна. Черные области указывают на то, что в них нет элементов (пустые множества).
См. также
Примечания
- Столл, 1968, с. 25.
- Нефедов, 1992, с. 8.
- Кузичев, 1968, с. 106.
- Кузичев, 1968, с. 171.
- Кузичев, 1968, с. 134.
- Кузичев, 1968, с. 9.
- Кузичев, 1968, с. 97.
- Столл, 1968, с. 26.
- Кузичев, 1968, с. 57.
- Кузичев, 1968, с. 124.
- Кузичев, 1968.
- 1 2 Кузичев, 1968, с. 25.
Ссылки
Литература- Столл Р. Множества, логика, аксиоматические теории. — М.: Мир, 1968. — 231 с.
|
|
