Меню Главная Случайная статья Настройки Дизъюнктное объединение Материал из https://ru.wikipedia.org Дизъюнктное объединение (также несвязное объединение или несвязная сумма) — это измененная операция объединения множеств в теории множеств, которая, неформально говоря, заключается в объединении непересекающихся «копий» множеств. В частности дизъюнктное объединение двух конечных множеств, состоящих из ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ элементов, будет содержать ровно ${\displaystyle a+b}$ элементов, даже если сами множества пересекаются. Содержание 1 Определение 2 Использование 3 Вариации и обобщения 4 См. также 5 Литература Определение Пусть ${\displaystyle \{A_{i}|i\in I\}}$ — семейство множеств, перечисленных индексами из ${\displaystyle I}$. Тогда дизъюнктное объединение этого семейства есть множество ${\displaystyle \bigsqcup _{i\in I}A_{i}=\bigcup _{i\in I}\{(x,i)|x\in A_{i}\}}$ Элементы дизъюнктного объединения являются упорядоченными парами ${\displaystyle (x,i)}$. Таким образом ${\displaystyle i}$ есть индекс, показывающий, из какого множества ${\displaystyle A_{i}}$ элемент вошёл в объединение. Каждое из множеств ${\displaystyle A_{i}}$ канонически вложено в дизъюнктное объединение как множество ${\displaystyle A_{i}^{*}=\{(x,i)|x\in A_{i}\}.}$ При ${\displaystyle \forall i,j\in I:i\neq j}$ множества ${\displaystyle A_{i}^{*}}$ и ${\displaystyle A_{j}^{*}}$ не имеют общих элементов, даже если ${\displaystyle A_{i}\cap A_{j}\neq \varnothing }$. В вырожденном случае, когда множества ${\displaystyle A_{i}\forall i\in I}$ равны какому-то конкретному ${\displaystyle A}$, дизъюнктное объединение есть декартово произведение множества ${\displaystyle A}$ и множества ${\displaystyle I}$, то есть ${\displaystyle \bigsqcup _{i\in I}A_{i}=A\times I.}$ Использование Иногда можно встретить обозначение ${\displaystyle A+B}$ для дизъюнктного объединения двух множеств или следующее для семейства множеств: ${\displaystyle \sum _{i\in I}A_{i}.}$ Такая запись подразумевает, что мощность дизъюнктного объединения равна сумме мощностей множеств семейства. Для сравнения, декартово произведение имеет мощность, равную произведению мощностей. В категории множеств дизъюнктным объединением является прямая сумма. Термин дизъюнктное объединение также используется в отношении объединения семейства попарно непересекающихся множеств. В этом случае дизъюнктное объединение обозначается, как обычное объединение множеств, совпадая с ним. Такое обозначение часто встречается в информатике. Более формально, если ${\displaystyle C}$ — это семейство множеств, то ${\displaystyle \bigcup _{A\in C}A}$ есть дизъюнктное объединение в рассмотренном выше смысле тогда и только тогда, когда при любых ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ из ${\displaystyle C}$ выполняется следующее условие: ${\displaystyle A\neq B\implies A\cap B=\varnothing .}$ Вариации и обобщения Если все множества дизъюнктного объединения наделены топологией, то само дизъюнктное объединение топологических пространств (то есть множеств наделённых топологией) имеет естественную топологию — самую сильную топологию такую, что каждое включение является непрерывным отображением. Дизъюнктное объединение с этой топологией называется несвязным объединением топологических пространств. См. также Теория множеств Теория категорий Декартово произведение Мощность множества Литература Александрян Р. А., Мирзаханян Э. А. Общая топология. — М.: Высшая школа, 1979. — С. 132.