Меню Главная Случайная статья Настройки Дифференциальный бином Материал из https://ru.wikipedia.org В математическом анализе дифференциальным биномом или биномиальным дифференциалом называется дифференциал вида ${\displaystyle x^{m}(a+bx^{n})^{p}\;dx,}$ где a, b — действительные числа, a m, n, p — рациональные числа. Представляет интерес интеграл от дифференциального бинома: ${\displaystyle I=\int x^{m}(a+bx^{n})^{p}\;dx.}$ Содержание 1 Свойства 1.1 Выразимость интеграла в элементарных функциях 1.2 Связь с бета-функцией и гипергеометрической функцией 2 Примеры 3 История 4 См. также 5 Примечания 6 Ссылки Свойства Выразимость интеграла в элементарных функциях Интеграл от дифференциального бинома выражается в элементарных функциях только в трёх случаях: ${\displaystyle p}$ — целое число. Используется подстановка ${\displaystyle x=t^{k}}$, ${\displaystyle k}$ — общий знаменатель дробей ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$; ${\displaystyle {\frac {m+1}{n}}}$ — целое число. Используется подстановка ${\displaystyle a+bx^{n}=t^{s}}$, ${\displaystyle s}$ — знаменатель дроби ${\displaystyle p}$. ${\displaystyle p+{\frac {m+1}{n}}}$ — целое число. Используется подстановка ${\displaystyle ax^{-n}+b=t^{s}}$, ${\displaystyle s}$ — знаменатель дроби ${\displaystyle p}$. Связь с бета-функцией и гипергеометрической функцией Интеграл от дифференциального бинома выражается через неполную бета-функцию: ${\displaystyle I={\frac {1}{n}}a^{p}\left(-{\frac {a}{b}}\right)^{(m+1)/n}\cdot B_{y}\left({\frac {m+1}{n}},p+1\right),}$ где ${\displaystyle y=-{\tfrac {b}{a}}x^{n}}$, а также через гипергеометрическую функцию: ${\displaystyle I={\frac {1}{m+1}}a^{p}\left(-{\frac {a}{b}}\right)^{(m+1)/n}y^{(m+1)/n}\cdot {}_{2}F_{1}\left({\frac {m+1}{n}},-p;{\frac {m+1}{n}}+1;y\right).}$ Примеры Интеграл ${\displaystyle \int {\sqrt[{3}]{1+x^{2}}}dx}$ не выражается в элементарных функциях, здесь ${\displaystyle m=0,n=2,p={1 \over 3}}$, и ни одно из трёх условий для m, n и p не выполнено. В то же время интеграл ${\displaystyle \int {\sqrt {1+x^{2}}}dx={x{\sqrt {x^{2}+1}} \over 2}+{1 \over 2}\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}})+C}$, как видим, выражается в элементарных функциях, поскольку здесь ${\displaystyle m=0,n=2,p={1 \over 2}}$, и ${\displaystyle {m+1 \over n}+p=1}$, то есть является целым числом. История Случаи выразимости дифференциального бинома в элементарных функциях были известны ещё Л. Эйлеру[нет в источнике]. Однако, невыразимость дифференциального бинома в элементарных функциях во всех остальных случаях была доказана П. Л. Чебышёвым в 1853 году[1]. См. также Список интегралов элементарных функций Примечания P. Tchebichef. Sur l'intgration des diffrentielles irrationnelles (фр.) // Journal de mathmatiques pures et appliques[англ.] : magazine. — 1853. — Vol. XVIII. — P. 87—111. Архивировано 11 февраля 2017 года. Ссылки Дифференциальный бином — статья из Большой советской энциклопедии.  Integration Of Differential Binomial (англ.) на сайте PlanetMath. Tables of indefinite integrals.