Меню Главная Случайная статья Настройки Вещественное число Материал из https://ru.wikipedia.org Вещественное (действительное[1]) число — математический объект, элемент множества вещественных чисел, принадлежность к которому определяется аксиоматикой вещественных чисел. Так же его можно определить как элемент непрерывного упорядоченного поля. Вещественные числа возникли из потребности измерения геометрических и физических объектов окружающего мира, а также проведения таких вычислительных операций, как извлечение корня, вычисление логарифмов, решение алгебраических уравнений, исследование поведения функций[2]. Если натуральные числа возникли в процессе счёта, рациональные — из потребности оперировать частями целого, то вещественные числа предназначены для измерения непрерывных величин. Таким образом, расширение запаса рассматриваемых чисел привело к множеству вещественных чисел, которое, помимо чисел рациональных, включает элементы, называемые иррациональными числами. Наглядно понятие вещественного числа можно представить при помощи числовой прямой. Если на прямой выбрать направление, начальную точку и единицу длины для измерения отрезков, то каждому вещественному числу можно поставить в соответствие определённую точку на этой прямой и, обратно, каждой точке прямой можно поставить в соответствие некоторое вещественное число, притом только одно. Вследствие этого соответствия термин «числовая прямая» обычно употребляется в качестве синонима множества вещественных чисел. Понятие вещественного числа прошло долгий путь становления. Ещё в Древней Греции в школе Пифагора, которая в основу всего ставила целые числа и их отношения, было открыто существование несоизмеримых величин (несоизмеримость стороны и диагонали квадрата), то есть в современной терминологии — чисел, не являющихся рациональными. Вслед за этим Евдоксом Книдским была предпринята попытка построить общую теорию числа, включавшую несоизмеримые величины. После этого, на протяжении более двух тысяч лет, никто не ощущал необходимости в точном определении понятия вещественного числа, несмотря на постепенное расширение этого понятия[3]. Лишь во второй половине XIX века, когда развитие математического анализа потребовало перестройки его основ на новом, более высоком уровне строгости, в работах К. Вейерштрасса, Р. Дедекинда, Г. Кантора, Э. Гейне, Ш. Мере[3] была создана строгая теория вещественных чисел. С точки зрения современной математики, множество вещественных чисел — непрерывное упорядоченное поле. Это определение, или эквивалентная система аксиом, в точности определяет понятие вещественного числа в том смысле, что существует только одно, с точностью до изоморфизма, непрерывное упорядоченное поле. Множество вещественных чисел имеет стандартное обозначение — R («полужирное R»), ${\displaystyle \mathbb {R} }$ или ${\displaystyle \mathbf {R} }$, Unicode U+211D double-struck capital r (HTML ℝ) (англ. blackboard bold «», от лат. realis — действительный). Содержание 1 История становления понятия вещественного числа 1.1 Наивная теория вещественных чисел 1.2 Создание строгой теории 2 Конструктивные способы определения вещественного числа 2.1 Теория фундаментальных последовательностей Кантора 2.2 Теория бесконечных десятичных дробей 2.3 Теория сечений в области рациональных чисел 3 Аксиоматический подход 3.1 Аксиоматика вещественных чисел 3.1.1 Аксиомы поля 3.1.2 Аксиомы порядка 3.1.3 Аксиомы непрерывности 3.2 Другие системы аксиом вещественных чисел 4 Свойства 4.1 Связь с рациональными числами 4.2 Теоретико-множественные свойства 5 Расширенное множество вещественных чисел 6 Обобщение вещественных чисел 7 Прикладные применения 8 См. также 9 Примечания 10 Литература История становления понятия вещественного числа Наивная теория вещественных чисел Первая развитая числовая система, построенная в Древней Греции, включала только натуральные числа и их отношения (пропорции, в современном понимании — рациональные числа). Однако вскоре выяснилось, что для целей геометрии и астрономии этого недостаточно: например, отношение длины диагонали квадрата к длине его стороны не может быть представлено ни натуральным, ни рациональным числом[4]. Для выхода из положения Евдокс Книдский ввёл, в дополнение к числам, более широкое понятие геометрической величины, то есть длины отрезка, площади или объёма. Теория Евдокса дошла до нас в изложении Евклида («Начала», книга V). По существу, теория Евдокса — это геометрическая модель вещественных чисел. С современной точки зрения, число при таком подходе есть отношение двух однородных величин — например, исследуемой и единичного эталона. Следует, однако, подчеркнуть, что Евдокс остался верен прежней традиции — не рассматривал такое отношение как число; из-за этого в «Началах» многие теоремы о свойствах чисел затем заново доказываются для величин. Классическая теория Дедекинда для построения вещественных чисел по своим принципам чрезвычайно похожа на изложение Евдокса. Однако модель Евдокса неполна в некоторых отношениях, например, она не включает отрицательные числа. Ситуация начала меняться в первые века н. э. Уже Диофант Александрийский, вопреки прежним традициям, рассматривает дроби так же, как и натуральные числа, а в IV книге своей «Арифметики» даже пишет об одном результате: «Число оказывается не рациональным»[5]. После гибели античной науки на передний план выдвинулись математики Индии и стран ислама, для которых любой результат измерения или вычисления считался числом. Эти взгляды постепенно взяли верх и в средневековой Европе[6], где поначалу разделяли рациональные и иррациональные (буквально: «неразумные») числа (их называли также мнимыми, абсурдными, глухими и т. п.). Полное уравнение в правах иррациональных чисел связано с трудами Симона Стевина (конец XVI века), который провозгласил[5]: Мы приходим к выводу, что не существует никаких абсурдных, иррациональных, неправильных, необъяснимых или глухих чисел, но что среди чисел существует такое совершенство и согласие, что нам надо размышлять дни и ночи над их удивительной законченностью. Он же, с некоторыми оговорками, легализовал отрицательные числа, а также развил теорию и символику десятичных дробей, которые с этого момента начинают вытеснять неудобные шестидесятеричные. Спустя столетие Ньютон в своей «Универсальной арифметике» (1707 года) даёт классическое определение (вещественного) числа как отношения результата измерения к единичному эталону[7]: