Меню Главная Случайная статья Настройки Разность множеств Материал из https://ru.wikipedia.org Разность двух множеств — теоретико-множественная операция, результатом которой является множество, в которое входят все элементы первого множества, не входящие во второе множество. Обычно разность множеств ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ обозначается как ${\displaystyle A\setminus B}$, но иногда можно встретить обозначение ${\displaystyle A-B}$ и ${\displaystyle A\sim B}$. Пусть ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ — два указанных в определении множества, тогда их разность определяется (на теоретико-множественном языке): ${\displaystyle A\setminus B=\{x\in A\mid x\not \in B\}.}$ Когда ${\displaystyle A\subseteq B}$, множество ${\displaystyle B\setminus A}$ часто называют дополнением множества ${\displaystyle A}$ до множества ${\displaystyle B}$. Обычно предполагается, что рассматриваются подмножества одного и того же множества, которое, в этом случае называют универсумом, скажем, ${\displaystyle X}$. Тогда можно рассматривать вместе с каждым множеством ${\displaystyle A\subset X}$ и его дополнение до множества ${\displaystyle X}$ — множество ${\displaystyle X\setminus A}$, при обозначении которого часто опускается значок универсума: ${\displaystyle \setminus A}$[источник не указан 3370 дней]; при этом говорится, что ${\displaystyle \setminus A}$ — (просто) дополнение множества (без указания, дополнением до чего является данное множество). С учётом данного замечания, оказывается, что ${\displaystyle A\setminus B=A\cap (\setminus B)}$, то есть дополнение множества ${\displaystyle B}$ до множества ${\displaystyle A}$ есть пересечение множества ${\displaystyle A}$ и дополнения множества ${\displaystyle B}$. Также применяется и операторная запись вида ${\displaystyle A^{\complement }}$, ${\displaystyle \complement _{X}A}$ или (если опустить универсальное множество) ${\displaystyle \complement A}$, ${\displaystyle {\overline {A}}}$, ${\displaystyle A'}$. Операция разности множеств не является по определению симметричной по отношению ко входящим в неё множествам. Симметричный вариант теоретико-множественной разности двух множеств описывается понятием симметрической разности. Содержание 1 Примеры 2 Свойства 3 Компьютерные реализации 4 Дополнение множества 4.1 Определение 4.2 Свойства 5 Кодировка 6 См. также 7 Литература 8 Примечания Примеры Пусть ${\displaystyle A=\{3,\;4,\;5,\;6\},\;B=\{6,\;7,\;8,\;9,\;10\}}$. Тогда ${\displaystyle A\setminus B=\{3,\;4,\;5\},\;B\setminus A=\{7,\;8,\;9,\;10\}.}$ Пусть ${\displaystyle \mathbb {R} }$ — множество всех вещественных чисел, ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ — множество рациональных чисел, а ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ — множество целых чисел. Тогда ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$ — множество всех иррациональных чисел, а ${\displaystyle \mathbb {Q} \setminus \mathbb {Z} }$ — дробных. Свойства Пусть ${\displaystyle A,\;B,\;C,\;D}$ — произвольные множества. Вычитание множества из самого себя даёт в результате пустое множество: ${\displaystyle A\setminus A=\varnothing .}$ Свойства пустого множества относительно разности: ${\displaystyle \varnothing \setminus A=\varnothing ;}$ ${\displaystyle A\setminus \varnothing =A.}$ Разность двух множеств содержится в уменьшаемом: ${\displaystyle A\setminus B\subset A.}$ ${\displaystyle A\cup (B\setminus A)=A\cup B}$. Из этой формулы следует, что операция разности не является обратной операции суммы (то есть объединению). ${\displaystyle A\setminus B=A\setminus (A\cap B).}$ Разность не пересекается с вычитаемым: ${\displaystyle A\cap (B\setminus A)=\varnothing .}$ Разность множеств равна пустому множеству тогда и только тогда, когда уменьшаемое содержится в вычитаемом: ${\displaystyle A\setminus B=\varnothing \Leftrightarrow A\subset B.}$ Законы де Моргана в алгебре множеств формулируются следующим образом: ${\displaystyle A\setminus (B\cap C)=(A\setminus B)\cup (A\setminus C);}$ ${\displaystyle A\setminus (B\cup C)=(A\setminus B)\cap (A\setminus C).}$ ${\displaystyle (A\cup B)\setminus C=(A\setminus C)\cup (B\setminus C);}$ ${\displaystyle A\setminus (B\setminus C)=(A\setminus B)\cup (A\cap C);}$ ${\displaystyle A\setminus (B\cup C)=(A\setminus B)\setminus C;}$ ${\displaystyle (B\setminus A)\cap C=(B\cap C)\setminus A=B\cap (C\setminus A);}$ ${\displaystyle (B\setminus A)\cup C=(B\cup C)\setminus A}$, если ${\displaystyle C\cap A=\varnothing }$. Если ${\displaystyle A\subset B}$ и ${\displaystyle C\subset D}$, то ${\displaystyle (A\setminus D)\subset (B\setminus C);}$ Если ${\displaystyle A\subset B}$, то для любого ${\displaystyle C}$ выполняется ${\displaystyle (C\setminus B)\subset (C\setminus A)}$. Это соотношение имеет свой аналог в арифметике: если ${\displaystyle a\leqslant b}$, то для любого ${\displaystyle c}$ справедливо ${\displaystyle (c-b)\leqslant (c-a)}$. Компьютерные реализации В пакете Mathematica операция реализована с помощью функции Complement. В пакете MATLAB она же реализована с помощью функции setdiff. В языке программирования Pascal (а также в его объектном расширении Object Pascal) операция разности множеств представлена оператором , обоими операндами и результатом выполнения которого являются значения типа set. В языке программирования Python операция реализована с помощью метода difference над объектом типа set. Дополнение множества Определение Если из контекста следует, что все рассматриваемые множества являются подмножествами некоторого фиксированного универсума ${\displaystyle X}$, то определяется операция дополнения: ${\displaystyle A^{\complement }=X\setminus A\equiv \{x\in X\mid x\not \in A\}.}$ Свойства Операция дополнения является унарной операцией на булеане ${\displaystyle 2^{X}}$. Законы дополнения:[1] ${\displaystyle A\cup A^{\complement }=X;}$ ${\displaystyle A\cap A^{\complement }=\varnothing .}$ В частности, если оба ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle A^{\complement }}$ непусты, то ${\displaystyle \{A,\;A^{\complement }\}}$ является разбиением ${\displaystyle X}$. ${\displaystyle X^{\complement }=\varnothing ;}$ ${\displaystyle \varnothing ^{\complement }=X;}$ ${\displaystyle (A\subset B)\Leftrightarrow (B^{\complement }\subset A^{\complement }).}$ Операция дополнения является инволюцией: ${\displaystyle (A^{\complement })^{\complement }=A.}$ Законы де Моргана: ${\displaystyle (A\cup B)^{\complement }=A^{\complement }\cap B^{\complement };}$ ${\displaystyle (A\cap B)^{\complement }=A^{\complement }\cup B^{\complement }.}$ Законы разности множеств: ${\displaystyle A\setminus B=A\cap B^{\complement };}$ ${\displaystyle (A\setminus B)^{\complement }=A^{\complement }\cup B.}$ Кодировка Графема Название Юникод HTML LaTeX COMPLEMENT U+2201 ∁ \complement См. также Операции над множествами Литература Лавров И. А., Максимова Л. Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. — М.: Физматлит, 2004. — 256 с. Примечания