Меню Главная Случайная статья Настройки Душа (дифференциальная геометрия) Материал из https://ru.wikipedia.org Душа риманова многообразия ${\displaystyle (M,g)}$ — компактное тотально выпуклое тотально геодезическое подмногообразие, являющееся его деформационным ретрактом. Обычно предполагается, что ${\displaystyle (M,g)}$ — полное связное риманово многообразие с секционной кривизной K  0. Содержание 1 Примеры 2 История 3 Свойства 4 Связанные открытые вопросы 5 Примечания Примеры Любое компактное многообразие является своей душой. У евклидова пространства Rn любая точка является его душой. У параболоида M = {(x,y,z) : z = x2 + y2}, начало координат (0,0,0) — душа M. При этом не любая точка x, принадлежащая M, является его душой, так как могут существовать геодезические петли, начинающиеся в точке x. У бесконечного цилиндра M = {(x,y,z) : x2 + y2 = 1} любая «горизонтальная» окружность {(x,y,z) : x2 + y2 = 1} с фиксированной z является душой M. История Термин душа введён Чигером[англ.] и Громолом[англ.] в 1972 году[1] в статье, где они, в частности, доказали теорему о душе. Теорема обобщала более раннюю теорему Громола и Мейера[2]. В той же статье Чигером и Громолом сформулирована гипотеза о душе. Короткое доказательство этой гипотезы было дано Григорием Перельманом[3] в 1994 году. Свойства Ниже предполагаем, что ${\displaystyle (M,g)}$ — это полное связное риманово многообразие с секционной кривизной ${\displaystyle K\geq 0}$. Теорема о душе утверждает: Всякое ${\displaystyle (M,g)}$ имеет душу ${\displaystyle S}$. Более того, многообразие ${\displaystyle M}$ диффеоморфно нормальному расслоению над ${\displaystyle S}$. Душа, вообще говоря, не определяется однозначно многообразием ${\displaystyle (M,g)}$, но любые две души ${\displaystyle (M,g)}$ изометричны. Последнее доказал Шарафутдинов в 1979 году[4], построив так называемую ретракцию Шарафутдинова; это 1-липшицев деформационный ретракт ${\displaystyle (M,g)\to S}$. Ретракция Шарафутдинова ${\displaystyle (M,g)\to S}$ является римановой субмерсией. В частности, если ${\displaystyle (M,g)}$ имеет хоть одну точку со строго положительной секционной кривизной, то его душа есть точка и само многообразие гомеоморфно евклидову пространству. Связанные открытые вопросы Гипотеза о двойной душе утверждает[5], что любое компактное многообразие неотрицательной секционной кривизны можно покрыть двумя расслоениями на диски. Примечания Cheeger, Jeff; Gromoll, Detlef (1972), On the structure of complete manifolds of nonnegative curvature, Annals of Mathematics. Second Series, 96: 413–443, doi:10.2307/1970819, ISSN 0003-486X, MR: 0309010 K. Grove, Geometry of and via symmetries