Родился в гододе Пожаревац. Играть в футбол начал в школе ФК «Войводина».[1] В составе клуба принимал участие в турниках: «Кубок будущих талантов»,[2] и «Турнир дружбы» в 2015, став одним из самых эффективных игроков.[3] Также был признан лучшим игроков турнира «Бродарац 2016».[4]
Живкович перешёл во взрослую команду в возрасте 18 лет. 28 июня2017 года, он подписал свой первых профессиональный контракт на 4 года с «Войводиной».[5] Проведя всё межсезонье с основной командой Живкович дебютировл в основе в матче лиги Европы словацкого клуба «Ружомберок».[6] В сербской суперлиге дебютировал 21 июля в домашней игре с «Чукарички».[7]