Меню
Главная
Случайная статья
Настройки
|
Задача Бюффона о бросании иглы — один из первых примеров применения метода Монте-Карло и рассмотрения понятия
геометрической вероятности[англ.]. Задача была сформулирована Бюффоном в 1777 году. Оказалось, что эта задача сделала возможным определение числа вероятностными методами.
Содержание
Суть задачи
Суть метода была в бросании иглы длиной на плоскость, расчерченную параллельными прямыми, расположенными на расстоянии друг от друга (см. Рис. 1).
Вероятность (как видно из дальнейшего контекста, речь идёт не о вероятности, а о математическом ожидании количества пересечений за один опыт; вероятностью это становится лишь при условии, что ) того, что отрезок пересечет прямую, связана с числом Пи:
,
где
- — расстояние от начала иглы до ближайшей к ней прямой;
- — угол иглы относительно прямых.
При условии, что получается решение: . Таким образом, подсчитав долю отрезков, пересекающих прямые, можно приближенно определить число Пи. При увеличении количества попыток точность получаемого результата будет увеличиваться.
В 1864 году капитан Фокс, выздоравливая после ранения, чтобы как-то занять себя, реализовал эксперимент по бросанию иглы[1]. Результаты представлены в следующей таблице:[2]
|
|
Число бросаний
|
Число пересечений
|
Длина иглы
|
Расстояние между прямыми
|
Вращение
|
Значение Пи
|
Ошибка
|
| Первая попытка
|
500
|
236
|
3
|
4
|
отсутствует
|
3.1780
|
0.03640734
|
| Вторая попытка
|
530
|
253
|
3
|
4
|
присутствует
|
3.1423
|
0.00070734
|
| Третья попытка
|
590
|
939
|
5
|
2
|
присутствует
|
3.1416
|
+0.00000734
|
Комментарии:
- Вращение плоскости применялось[2] (и как показывают результаты — успешно) для того, чтобы уменьшить систематическую ошибку.
- В третьей попытке длина иглы была больше расстояния между линиями, что позволило не увеличивая числа бросаний эффективно увеличить число событий и повысить точность.
Вариации и обобщения- Задача о макаронине Бюффона — вариант задачи для кривых.[3]
Примечания
- Math Surprises: An Example Архивная копия от 30 января 2012 на Wayback Machine (англ.)
- 1 2 A.Hall. On an experimental determination of Pi : [арх. 7 марта 2016] // The Messenger of Mathematics. — 1872. — Vol. 2. — P. 113—114.
- Ramaley, J. F. (1969). Buffon's Noodle Problem (PDF). The American Mathematical Monthly. 76 (8, October 1969). Mathematical Association of America: 916–918. doi:10.2307/2317945. ISSN 0002-9890. JSTOR 2317945. Архивировано из оригинала (PDF) 14 января 2020. Дата обращения: 23 ноября 2020.
Литература
|
|