Меню Главная Случайная статья Настройки Формула Крофтона Материал из https://ru.wikipedia.org Формула Крофтона — классический результат интегральной геометрии. Связывает длину кривой со средним числом пересечений с прямыми. Названа в честь Моргана Крофтона. Содержание 1 Формулировка 2 Замечания 3 Приложения 4 Вариации и обобщения 5 Литература Формулировка Пусть ${\displaystyle \gamma }$ — спрямляемая плоская кривая. Для прямой ${\displaystyle l}$, обозначим через ${\displaystyle n_{\gamma }(l)}$ число точек, в которых ${\displaystyle \gamma }$ и ${\displaystyle l}$ пересекаются. Мы можем параметризовать ориентированные прямые ${\displaystyle l}$ углом ${\displaystyle \varphi }$ к выбранному направлению и расстоянием ${\displaystyle p}$ от начала координат, взятым со знаком. Тогда длина кривой ${\displaystyle \gamma }$ равна ${\displaystyle L={\frac {1}{4}}\int \limits _{0}^{2\cdot \pi }d\varphi \cdot \int \limits _{-\infty }^{\infty }n_{\gamma }(\varphi ,p)\cdot dp.}$ Замечания Дифференциальная форма ${\displaystyle d\varphi \wedge dp}$ инвариантна относительно движений плоскости. Таким образом, она даёт естественную меру для интегрирования. Формула Крофтона эквивалентна следующему утверждению: Длина кривой прямо пропорциональна средней длине её ортогональных проекций. При этом длина проекции считается с учётом кратности. Приложения Формула Крофтона даёт доказательства следующих результатов: Если замкнутая плоская кривая обходит вокруг выпуклой кривой, то эта выпуклая кривая имеет меньшую длину. Теорема Барбье: Кривая постоянной ширины ${\displaystyle a}$ имеет периметр ${\displaystyle \pi \cdot a}$. Изопериметрические неравенства: среди замкнутых кривых с заданным периметром, круг имеет максимальную площадь. Если сферическая кривая имеет длину меньше ${\displaystyle 2{\cdot }\pi }$, то она лежит в открытой полусфере. Это утверждение является ключевым в доказательстве теоремы Фенхеля о повороте кривой. Вариации и обобщения Задача Бюффона о бросании иглы Формула Крофтона обобщается для любой римановой поверхности; при этом для интегрирования используется естественная мера на пространстве геодезических фиксированной длины. Например, длина кривой на единичной сфере равна ${\displaystyle \pi \cdot n}$, где ${\displaystyle n}$ обозначает среднее число пересечений кривой с окружностями большого круга. Преобразование Радона может рассматриваться как обобщение формулы Крофтона в теории меры. Формула Сантало Литература Tabachnikov, Serge. Geometry and Billiards (англ.). — AMS, 2005. — P. 36—40. — ISBN 0-8218-3919-5. Лекция 19 в