Ru.Wikipedia.Org - Задача Пипса

Меню
Главная
Случайная статья
Настройки

Задача Пипса
Материал из https://ru.wikipedia.org

Задача Ньютона-Пипса или же Задача Пипса — вероятностная задача, касающаяся вероятности выпадения шестерок из определенного количества игральных костей.

В 1693 году Сэмюэл Пипс и Исаак Ньютон вели переписку по поводу проблемы, поставленной перед Пипсом школьным учителем по имени Джон Смит. Проблема заключалась в:

Какое из следующих трех предложений имеет наибольшие шансы на успех?

A. Шесть честных кубиков бросаются независимо друг от друга, и выпадает по крайней мере одна цифра «6».

B. Двенадцать честных кубиков бросаются независимо и выпадают по крайней мере две «6».

C. Восемнадцать честных кубиков бросаются независимо и выпадают по крайней мере три «6».

Сэмюэл Пипс изначально думал, что результат C имеет наибольшую вероятность, но Исаак Ньютон правильно заключил, что результат A на самом деле имеет наибольшую вероятность.

Содержание

Решение

Вероятности исходов A, B и C равны:

Эти результаты могут быть получены путем применения биномиального распределения (хотя Ньютон получил их из первых принципов). В общем случае, если P(n) — вероятность выпадения по крайней мере n шестерок из 6n кубиков, то:

По мере роста n P(n) монотонно уменьшается к асимптотическому пределу 1/2.

Пример в R

Решение, изложенное выше, может быть реализовано в R следующим образом:

для (s в 1:3) {          # ищем s = 1, 2 или 3 шестерки
  n = 6*s                 # ... в n = 6, 12 или 18 кубиках
  q = pbinom(s - , n, 1/6) # q = Prob( < s шестерок в n кубиках)
  cat("Вероятность не менее", s, "шестерка в", n, "честные кости":, 1-q, "\n")
}

Объяснение Ньютона

Хотя Ньютон правильно рассчитал шансы каждой ставки, он предоставил Пипсу отдельное интуитивное объяснение. Он представил, что B и C бросают свои кости группами по шесть, и сказал, что A является наиболее благоприятным, потому что требуется 6 только за один бросок, в то время как B и C требуют 6 за каждый из своих бросков. Это объяснение предполагает, что группа не производит более одного 6, поэтому оно фактически не соответствует исходной задаче.

Обобщения

Естественным обобщением задачи является рассмотрение n необязательно честных кубиков с p вероятностью того, что каждый кубик выберет 6 граней при броске (обратите внимание, что на самом деле количество граней кубика и то, какая грань должна быть выбрана, не имеет значения). Если r — это общее количество игральных костей, выбирающих 6 граней, то это вероятность того, что по крайней мере k правильных выборов при броске ровно n кубиков. Тогда исходную задачу Ньютона-Пипса можно обобщить следующим образом:

Пусть будут натуральными положительными числами s.t. . Тогда не меньше, чем для всех n, p, k?

Обратите внимание, что при таком обозначении исходная задача Ньютона-Пипса читается как: является ?

Как отмечено в работе Рубина и Эванса (1961), не существует единообразных ответов на обобщенную задачу Ньютона-Пипса, поскольку ответы зависят от k, n и p. Тем не менее, существуют некоторые вариации предыдущих вопросов, которые допускают единообразные ответы:

(из Чаунди и Булларда (1960)):

Если являются положительными натуральными числами, и, то .

Если являются положительными натуральными числами, и, то .

(из Вараньоло, Пиллонетто и Шенато (2013)):

Если являются положительными натуральными числами, и тогда .

Ссылки

^ Перейти к:^a ^b
^ Чаунди, Т.В., Буллард, Дж. Э., 1960. «Проблема Джона Смита». Математический вестник 44, 253—260.
^ Перейти к:^a ^b
^ Чаунди, Т.В., Буллард, Дж. Э., 1960. «Проблема Джона Смита». Математический вестник 44, 253—260.
^ D. Varagnolo, L. Schenato, G. Pillonetto, 2013. «Вариация задачи Ньютона-Пса и ее связи с задачами оценки размера». Письма о статистике и вероятности 83 (5), 1472—1478.

скрыть v t e Сэр Исаак Ньютон
Публикации	Флюксии (1671) De Motu (1684) Принципы (1687; написание) Оптические приборы (1704) Запросы (1704) Arithmetica (1707) De Analysi (1711)
Другие работы	Quaestiones (1661—1665) «стоящий на плечах гигантов» (1675) Заметки о еврейском храме (ок. 1680) «Общая схолия» (1713; «гипотезы, не являющиеся финго») ИсправленныеДревние царства (1728) Искажения Писания (1754)
Взносы	Математическое флюксия Глубина воздействия Инерция Диск Ньютона Многоугольник Ньютона Тело Ньютона-Окунькова Отражатель Ньютона Ньютоновский телескоп Шкала Ньютона Металл Ньютона Спектр Структурная окраска
Ньютонианство	Аргумент ведра Неравенства Ньютона Закон охлаждения Ньютона Закон всемирного тяготения Ньютона Постньютоновское расширение параметризованный гравитационная постоянная Теория Ньютона-Картана Уравнение Шредингера-Ньютона Законы движения Ньютона Законы Кеплера Ньютоновская динамика Метод Ньютона в оптимизации Проблема Аполлония усеченный метод Ньютона Алгоритм Гаусса-Ньютона Кольца Ньютона Теорема Ньютона об овалах Задача Ньютона-Пеписа Ньютоновский потенциал Ньютоновская жидкость Классическая механика Корпускулярная теория света Противоречие в исчислении Лейбница-Ньютона Обозначения Ньютона Вращающиеся сферы Пушечное ядро Ньютона Формулы Ньютона-Котса Метод Ньютона обобщенный метод Гаусса-Ньютона Фрактал Ньютона Тождества Ньютона Многочлен Ньютона Теорема Ньютона о вращающихся орбитах Уравнения Ньютона-Эйлера Число Ньютона задача о числе поцелуев Коэффициент Ньютона Параллелограмм силы Теорема Ньютона-Пюизе Абсолютное пространство и время Светоносный эфир Ряд Ньютона таблица
Личная жизнь	Поместье Вулсторп (место рождения) Крэнбери Парк (главная) Ранняя жизнь Дальнейшая жизнь Религиозные взгляды Оккультные исследования Научная революция Революция Коперника
Соотношения	Кэтрин Бартон (племянница) Джон Кондуитт (племянник зятя) Исаак Барроу (профессор) Уильям Кларк (наставник) Бенджамин Пуллейн (преподаватель) Джон Кейлл (ученик) Уильям Стакли (друг) Уильям Джонс (друг) Абрахам де Муавр (друг)
Описания	Ньютон Блейка (монотипия) Ньютон работы Паолоцци (скульптура) Горгулья Исаака Ньютона
Тезка	Ньютон (единица измерения) Колыбель Ньютона Институт Исаака Ньютона Медаль Исаака Ньютона Телескоп Исаака Ньютона Группа телескопов Исаака Ньютона XMM-Ньютон Сэр Исаак Ньютон в шестом классе Государственный институт высшего образования Исаака Ньютона Международная стипендия Ньютона
Категории	Исаак Ньютон