Меню Главная Случайная статья Настройки Биномиальное распределение Материал из https://ru.wikipedia.org Биномиальное распределение с параметрами ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle p}$ в теории вероятностей — распределение количества «успехов» в последовательности из ${\displaystyle n}$ независимых случайных экспериментов, таких, что вероятность «успеха» в каждом из них постоянна и равна ${\displaystyle p}$. Содержание 1 Определение 2 Функция распределения 3 Моменты 4 Свойства биномиального распределения 5 Связь с другими распределениями 6 См. также Определение Пусть ${\textstyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ — конечная последовательность независимых случайных величин, имеющих одинаковое распределение Бернулли с параметром ${\displaystyle p}$, то есть при каждом ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$ величина ${\displaystyle X_{i}}$ принимает значения ${\displaystyle 1}$ («успех») и ${\displaystyle 0}$ («неудача») с вероятностями ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q=1-p}$ соответственно. Тогда случайная величина ${\displaystyle Y=X_{1}+X_{2}+\ldots +X_{n}}$ имеет биномиальное распределение с параметрами ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle p}$. Это записывается в виде: ${\displaystyle Y\sim \mathrm {Bin} (n,p)}$. Случайную величину ${\displaystyle Y}$ обычно интерпретируют как число успехов в серии из ${\displaystyle n}$ одинаковых независимых испытаний Бернулли с вероятностью успеха ${\displaystyle p}$ в каждом испытании. Функция вероятности задаётся формулой: ${\displaystyle p_{Y}(k)\equiv \mathbb {P} (Y=k)={\binom {n}{k}}\,p^{k}q^{n-k},\ \ k=0,\ldots ,n,}$ где ${\displaystyle {\binom {n}{k}}=C_{n}^{k}={\frac {n!}{(n-k)!\,k!}}}$ — биномиальный коэффициент. Функция распределения Функция распределения биномиального распределения может быть записана в виде суммы: ${\displaystyle F_{Y}(y)\equiv \mathbb {P} (Y<y)=\sum \limits _{k=0}^{\lceil y\rceil }{\binom {n}{k}}\,p^{k}q^{n-k},\;y\in \mathbb {R} }$, где ${\displaystyle \lfloor y\rfloor }$ обозначает наибольшее целое, меньшее числа ${\displaystyle y}$, или в виде неполной бета-функции: ${\displaystyle F_{Y}(y)\equiv \mathbb {P} (Y<y)=I_{1-p}(n-\lceil y\rceil ,\lceil y\rceil +1)}$. Моменты Производящая функция моментов биномиального распределения имеет вид: ${\displaystyle M_{Y}(t)=\left(pe^{t}+q\right)^{n}}$, откуда математическое ожидание: ${\displaystyle \mathbb {E} [Y]=np}$, и дисперсия: ${\displaystyle \mathbb {D} [Y]=npq}$. Свойства биномиального распределения Пусть ${\displaystyle Y_{1}\sim \mathrm {Bin} (n,p)}$ и ${\displaystyle Y_{2}\sim \mathrm {Bin} (n,1-p)}$. Тогда ${\displaystyle p_{Y_{1}}(k)=p_{Y_{2}}(n-k)}$. Пусть ${\displaystyle Y_{1}\sim \mathrm {Bin} (n_{1},p)}$ и ${\displaystyle Y_{2}\sim \mathrm {Bin} (n_{2},p)}$. Тогда ${\displaystyle Y_{1}+Y_{2}\sim \mathrm {Bin} (n_{1}+n_{2},p)}$. Связь с другими распределениями Если ${\displaystyle n=1}$, то получаем распределение Бернулли. Если ${\displaystyle n}$ большое, то в силу центральной предельной теоремы ${\displaystyle \mathrm {Bin} (n,p)\approx N(np,npq)}$, где ${\displaystyle N(np,npq)}$ — нормальное распределение с математическим ожиданием ${\displaystyle np}$ и дисперсией ${\displaystyle npq}$. Если ${\displaystyle n}$ большое, а ${\displaystyle \lambda }$ — фиксированное число, то ${\displaystyle \mathrm {Bin} (n,\lambda /n)\approx \mathrm {P} (\lambda )}$, где ${\displaystyle \mathrm {P} (\lambda )}$ — распределение Пуассона с параметром ${\displaystyle \lambda }$. Если случайные величины ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ имеют биномиальные распределения ${\displaystyle \mathrm {Bin} (D,p)}$ и ${\displaystyle \mathrm {Bin} (N-D,p)}$ соответственно, то условное распределение случайной величины ${\displaystyle X}$ при условии ${\displaystyle X+Y=n}$ – гипергеометрическое ${\displaystyle \mathrm {HG} (D,N,n)}$. См. также Треугольник Паскаля Локальная теорема Муавра — Лапласа