Меню Главная Случайная статья Настройки Задача Томсона Материал из https://ru.wikipedia.org Задача Томсона состоит в нахождении конфигурации с минимальной полной потенциальной энергии электростатического заряда для N электронов, на единичной сфере, которые отталкиваются друг от согласно закону Кулона. Задача поставлена Дж. Дж. Томсоном в 1904 году после того, как он предложил модель атома, позже названную моделью Томсона, основанную на его знаниях о существовании отрицательно заряженных электронов в нейтрально заряженных атомах. Связанные задачи включают изучение геометрии конфигурации минимальной энергии и нахождения минимальной энергии при больших N. Содержание 1 Математическая формулировка 1.1 Пример 2 Известные решения 3 Обобщения 4 Отношения к другим научным проблемам 5 Известные конфигурации с наименьшей энергией 6 Примечания 7 Ссылки Математическая формулировка Физическая система, воплощённая в задаче Томсона, является частным случаем одной из восемнадцати нерешённых математических задач, предложенных математиком Стивеном Смейлом — «Распределение точек на сфере». Решение каждой проблемы N электронов получается, когда конфигурация N электронов ограниченная поверхностью сферы единичного радиуса, r = 1, даёт глобальный минимум электростатической потенциальной энергии U(N) Энергия электростатического взаимодействия, возникающая между каждой парой электронов равных зарядов (${\displaystyle e_{i}=e_{j}=e}$, элементарный заряд электрона) определяется законом Кулона, ${\displaystyle {U_{ij}(N)=k_{e}{e_{i}e_{j} \over r_{ij}}.}}$ здесь ${\displaystyle k_{e}}$ — постоянная Кулона и ${\displaystyle r_{ij}=|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|}$ расстояние между каждой парой электронов, расположенных в точках на сфере, определяемых векторами ${\displaystyle {r}_{i}}$ и ${\displaystyle {r}_{j}}$ соответственно. Упрощенные единицы ${\displaystyle e=1}$ и ${\displaystyle k_{e}=1}$ используются без потери основного смысла. Потом, ${\displaystyle {\ U_{ij}(N)={1 \over r_{ij}}.}}$ Полная потенциальная энергия электростатического заряда каждой конфигурации N-электронов может быть выражена как сумма всех парных взаимодействий. ${\displaystyle {\displaystyle U(N)=\sum _{i<j}{\frac {1}{r_{ij}}}.}}$ Глобальная минимизация по всем возможным наборам из N различных точек обычно находят алгоритмы численной минимизации. Пример Решение проблемы Томсона для двух электронов получается, когда оба электрона находятся как можно дальше друг от друга на противоположных сторонах начала координат, ${\displaystyle {\displaystyle r_{ij}=2r=2}}$, или ${\displaystyle {\displaystyle U(2)={1 \over 2}.}}$ Известные решения Конфигурации с минимальной энергией были строго математически определены только в нескольких случаях. При N = 1 решение тривиально, так как электрон может находиться в любой точке поверхности единичной сферы. Полная энергия конфигурации определяется как ноль, так как электрон не подвергается воздействию электрического поля от других зарядов. При N = 2 оптимальная конфигурация состоит из электронов в антиподальных точках. При N = 3 электроны находятся в вершинах равностороннего треугольника вокруг большой окружности . При N = 4 электроны находятся в вершинах правильного тетраэдра. Для N = 5 в 2010 году было получено математически строгое компьютерное решение с электронами, находящимися в вершинах треугольной бипирамиды. При N = 6 электроны находятся в вершинах правильного октаэдра. При N = 12 электронов находятся в вершинах правильного икосаэдра. Примечательно, что решения задачи Томсона для N = 4, 6 и 12 электронов образуют тела Платона, грани которых являются равными равносторонними треугольниками, при этом заряды находятся в вершинах платонового многогранника. Конфигурации численных решений для N = 8 и 20 не являются правильными выпуклыми многогранниками оставшихся двух платоновых тел, грани которых являются квадратными и пятиугольными, соответственно, это куб и додекаэдр[1]. Обобщения Можно также запросить основные состояния частиц, взаимодействующих с произвольными потенциалами. Чтобы быть математически точным, пусть f будет убывающей вещественной функцией. Определим энергетическую функцию ${\displaystyle \sum _{i<j}f(|x_{i}-x_{j}|)}$ Традиционно считается ${\displaystyle {\displaystyle f(x)=x^{-\alpha }}}$ также известная как ядро Рисса. Для неинтегрируемых ядер Рисса справедлива теорема о бублике с маком. Известные случаи включают = , проблему Таммеса ; = 1, проблема Томсона; = 0, задача Уайта (максимизировать произведение расстояний). Отношения к другим научным проблемам Проблема Томсона является естественным следствием модели сливового пудинга Томсона в отсутствие её равномерного положительного фонового заряда. «Ни один факт, обнаруженный об атоме, не может быть тривиальным и не может ускорить прогресс физической науки, так как большая часть естественной философии является результатом структуры и механизма атома». Хотя экспериментальные данные привели к отказу от томсоновской модели пудинга в качестве полной модели атома, было обнаружено, что неоднородности, наблюдаемые в численных энергетических решениях задачи Томсона, соответствуют наполнению электронной оболочки естественными атомами по всей периодической таблице элементов. Проблема Томсона также играет роль в изучении других физических моделей, включая многоэлектронные пузырьки и упорядочение поверхности жидких металлических капель, заключенных в ловушках Пола . Обобщенная проблема Томсона возникает, например, при определении расположения белковых субъединиц, которые составляют оболочки сферических вирусов . «Частицы» в данном случае представляют собой кластеры белковых субъединиц, расположенных на оболочке. Другие примеры включают в себя регулярное расположение коллоидных частиц в коллоидосомах , предлагаемых для инкапсуляции активных ингредиентов, таких как лекарственные средства, питательные вещества или живые клетки, фуллереновые структуры атомов углерода и теория отталкивания электронных пар. Примером дальнодействующих логарифмических взаимодействий являются вихри Абрикосова, которые образовались бы при низких температурах в сверхпроводящей металлической оболочке с большим электромагнитным полем в центре. Известные конфигурации с наименьшей энергией В следующей таблице ${\displaystyle N}$ — количество точек (зарядов) в конфигурации, ${\displaystyle E_{1}}$ — энергия, тип симметрии указан в нотации Шёнфлиса (см. Точечные группы в трёх измерениях), ${\displaystyle r_{i}}$ — позиции зарядов. Большинство типов симметрии требуют, чтобы векторная сумма положений (и, следовательно, электрический дипольный момент) была равна нулю. Принято также учитывать многогранник, образованный выпуклой оболочкой точек. Таким образом, ${\displaystyle v_{i}}$ — число вершин, где встречается данное число рёбер, ${\displaystyle e}$ — общее количество рёбер, ${\displaystyle f_{3}}$ — количество треугольных граней, ${\displaystyle f_{4}}$ — четырёхугольных граней, и ${\displaystyle \theta _{1}}$ — наименьший угол, представленный векторами, связанными с ближайшей парой зарядов. Обратите внимание, что длины рёбер обычно не равны; таким образом (за исключением случаев N = 4, 6, 12, 24) выпуклая оболочка только топологически эквивалентна однородному многограннику или телу Джонсона. Вторые перечислены в последнем столбце. N E1 Группа симметрии ${\displaystyle {\displaystyle \left|\sum \mathbf {r} _{i}\right|}}$ ${\displaystyle {\displaystyle v_{3}}}$ ${\displaystyle {\displaystyle v_{4}}}$ ${\displaystyle {\displaystyle v_{5}}}$ ${\displaystyle {\displaystyle v_{6}}}$ ${\displaystyle {\displaystyle v_{7}}}$ ${\displaystyle {\displaystyle v_{8}}}$ e ${\displaystyle f_{3}}$ ${\displaystyle f_{4}}$ ${\displaystyle \theta _{1}}$ Эквивалентный многогранник 2 0,500000000 ${\displaystyle D_{\infty h}}$ 0 — — — — — — 1 — — 180,000 ° двуугольник 3 1,732050808 ${\displaystyle D_{3h}}$ 0 — — — — — — 3 1 — 120,000 ° треугольник 4 3,674234614 ${\displaystyle T_{d}}$ 0 4 0 0 0 0 0 6 4 0 109,471 ° тетраэдр 5 6,474691495 ${\displaystyle D_{3h}}$ 0 2 3 0 0 0 0 9 6 0 90,000 ° треугольная дипирамида 6 9,985281374 ${\displaystyle O_{h}}$ 0 0 6 0 0 0 0 12 8 0 90,000 ° октаэдр 7 +14,452977414 ${\displaystyle D_{5h}}$ 0 0 5 2 0 0 0 15 10 0 72,000 ° пятиугольная дипирамида 8 +19,675287861 ${\displaystyle D_{4d}}$ 0 0 8 0 0 0 0 16 8 2 71,694 ° квадратная антипризма 9 +25,759986531 ${\displaystyle D_{3h}}$ 0 0 3 6 0 0 0 21 14 0 69,190 ° треугольная призма 10 +32,716949460 ${\displaystyle D_{4d}}$ 0 0 2 8 0 0 0 24 16 0 64,996 ° Гиро удлиненная квадратная дипирамида 11 +40,596450510 ${\displaystyle C_{2v}}$ 0,013219635 0 2 8 1 0 0 27 18 0 58,540 ° икосаэдр, сжатый ребром 12 +49,165253058 ${\displaystyle I_{h}}$ 0 0 0 12 0 0 0 30 20 0 63,435 ° икосаэдр 13 +58,853230612 ${\displaystyle C_{2v}}$ 0,008820367 0 1 10 2 0 0 33 22 0 52,317 ° — 14 +69,306363297 ${\displaystyle D_{6d}}$ 0 0 0 12 2 0 0 36 24 0 52,866 ° скрученно удлиненная гексагональная дипирамида 15 +80,670244114 ${\displaystyle D_{3}}$ 0 0 0 12 3 0 0 39 26 0 49,225 ° — 16 +92,911655302 ${\displaystyle T}$ 0 0 0 12 4 0 0 42 28 0 48,936 ° — 17 +106,050404829 ${\displaystyle D_{5h}}$ 0 0 0 12 5 0 0 45 30 0 50,108 ° — 18 +120,084467447 ${\displaystyle D_{4d}}$ 0 0 2 8 8 0 0 48 32 0 47,534 ° — 19 +135,089467557 ${\displaystyle C_{2v}}$ 0,000135163 0 0 14 5 0 0 50 32 1 44,910 ° — 20 +150,881568334 ${\displaystyle D_{3h}}$ 0 0 0 12 8 0 0 54 36 0 46,093 ° — 21 +167,641622399 ${\displaystyle C_{2v}}$ 0,001406124 0 1 10 10 0 0 57 38 0 44,321 ° — 22 +185,287536149 ${\displaystyle T_{d}}$ 0 0 0 12 10 0 0 60 40 0 43,302 ° — 23 +203,930190663 ${\displaystyle D_{3}}$ 0 0 0 12 11 0 0 63 42 0 41,481 ° — 24 +223,347074052 ${\displaystyle O}$ 0 0 0 24 0 0 0 60 32 6 42,065 ° курносый куб 25 +243,812760299 ${\displaystyle C_{S}}$ 0,001021305 0 0 14 11 0 0 68 44 1 39,610 ° — 26 +265,133326317 ${\displaystyle C_{2}}$ 0,001919065 0 0 12 14 0 0 72 48 0 38,842 ° — 27 +287,302615033 ${\displaystyle D_{5h}}$ 0 0 0 12 15 0 0 75 50 0 39,940 ° — 28 +310,491542358 ${\displaystyle T}$ 0 0 0 12 16 0 0 78 52 0 37,824 ° — 29 +334,634439920 ${\displaystyle D_{3}}$ 0 0 0 12 17 0 0 81 54 0 36,391 ° — 30 +359,603945904 ${\displaystyle D_{2}}$ 0 0 0 12 18 0 0 84 56 0 36,942 ° — 31 +385,530838063 ${\displaystyle C_{3v}}$ 0,003204712 0 0 12 19 0 0 87 58 0 36,373 ° — 32 +412,261274651 ${\displaystyle I_{h}}$ 0 0 0 12 20 0 0 90 60 0 37,377 ° — 33 +440,204057448 ${\displaystyle C_{s}}$ 0,004356481 0 0 15 17 1 0 92 60 1 33,700 ° — 34 +468,904853281 ${\displaystyle D_{2}}$ 0 0 0 12 22 0 0 96 64 0 33,273 ° — 35 +498,569872491 ${\displaystyle C_{2}}$ 0,000419208 0 0 12 23 0 0 99 66 0 33,100 ° — 36 +529,122408375 ${\displaystyle D_{2}}$ 0 0 0 12 24 0 0 102 68 0 33,229 ° — 37 +560,618887731 ${\displaystyle D_{5h}}$ 0 0 0 12 25 0 0 105 70 0 32,332 ° — 38 +593,038503566 ${\displaystyle D_{6d}}$ 0 0 0 12 26 0 0 108 72 0 33,236 ° — 39 +626,389009017 ${\displaystyle D_{3h}}$ 0 0 0 12 27 0 0 111 74 0 32,053 ° — 40 +660,675278835 ${\displaystyle T_{d}}$ 0 0 0 12 28 0 0 114 76 0 31,916 ° — 41 +695,916744342 ${\displaystyle D_{3h}}$ 0 0 0 12 29 0 0 117 78 0 31,528 ° — 42 +732,078107544 ${\displaystyle D_{5h}}$ 0 0 0 12 30 0 0 120 80 0 31,245 ° — 43 +769,190846459 ${\displaystyle C_{2v}}$ 0,000399668 0 0 12 31 0 0 123 82 0 30,867 ° — 44 +807,174263085 ${\displaystyle O_{h}}$ 0 0 0 24 20 0 0 120 72 6 31,258 ° — 45 +846,188401061 ${\displaystyle D_{3}}$ 0 0 0 12 33 0 0 129 86 0 30,207 ° — 46 +886,167113639 ${\displaystyle T}$ 0 0 0 12 34 0 0 132 88 0 29,790 ° — 47 +927,059270680 ${\displaystyle C_{s}}$ 0,002482914 0 0 14 33 0 0 134 88 1 28,787 ° — 48 +968,713455344 ${\displaystyle O}$ 0 0 0 24 24 0 0 132 80 6 29,690 ° — 49 +1011,557182654 ${\displaystyle C_{3}}$ 0,001529341 0 0 12 37 0 0 141 94 0 28,387 ° — 50 +1055,182314726 ${\displaystyle D_{6d}}$ 0 0 0 12 38 0 0 144 96 0 29,231 ° — 51 +1099,819290319 ${\displaystyle D_{3}}$ 0 0 0 12 39 0 0 147 98 0 28,165 ° — 52 +1145,418964319 ${\displaystyle C_{3}}$ 0,000457327 0 0 12 40 0 0 150 100 0 27,670 ° — 53 +1191,922290416 ${\displaystyle C_{2v}}$ 0,000278469 0 0 18 35 0 0 150 96 3 27,137 ° — 54 +1239,361474729 ${\displaystyle C_{2}}$ 0,000137870 0 0 12 42 0 0 156 104 0 27,030 ° — 55 +1287,772720783 ${\displaystyle C_{2}}$ 0,000391696 0 0 12 43 0 0 159 106 0 26,615 ° — 56 +1337,094945276 ${\displaystyle D_{2}}$ 0 0 0 12 44 0 0 162 108 0 26,683 ° — 57 +1387,383229253 ${\displaystyle D_{3}}$ 0 0 0 12 45 0 0 165 110 0 26,702 ° — 58 +1438,618250640 ${\displaystyle D_{2}}$ 0 0 0 12 46 0 0 168 112 0 26,155 ° — 59 +1490,773335279 ${\displaystyle C_{2}}$ 0,000154286 0 0 14 43 2 0 171 114 0 26,170 ° — 60 +1543,830400976 ${\displaystyle D_{3}}$ 0 0 0 12 48 0 0 174 116 0 25,958 ° — 61 +1597,941830199 ${\displaystyle C_{1}}$ 0,001091717 0 0 12 49 0 0 177 118 0 25,392 ° — 62 +1652,909409898 ${\displaystyle D_{5}}$ 0 0 0 12 50 0 0 180 120 0 25,880 ° — 63 +1708,879681503 ${\displaystyle D_{3}}$ 0 0 0 12 51 0 0 183 122 0 25,257 ° — 64 +1765,802577927 ${\displaystyle D_{2}}$ 0 0 0 12 52 0 0 186 124 0 24,920 ° — 65 +1823,667960264 ${\displaystyle C_{2}}$ 0,000399515 0 0 12 53 0 0 189 126 0 24,527 ° — 66 +1882,441525304 ${\displaystyle C_{2}}$ 0,000776245 0 0 12 54 0 0 192 128 0 24,765 ° — 67 +1942,122700406 ${\displaystyle D_{5}}$ 0 0 0 12 55 0 0 195 130 0 24,727 ° — 68 +2002,874701749 ${\displaystyle D_{2}}$ 0 0 0 12 56 0 0 198 132 0 24,433 ° — 69 +2064,533483235 ${\displaystyle D_{3}}$ 0 0 0 12 57 0 0 201 134 0 24,137 ° — 70 +2127,100901551 ${\displaystyle D_{2d}}$ 0 0 0 12 50 0 0 200 128 4 24,291 ° — 71 +2190,649906425 ${\displaystyle C_{2}}$ 0,001256769 0 0 14 55 2 0 207 138 0 23,803 ° — 72 +2255,001190975 ${\displaystyle I}$ 0 0 0 12 60 0 0 210 140 0 24,492 ° — 73 +2320,633883745 ${\displaystyle C_{2}}$ 0,001572959 0 0 12 61 0 0 213 142 0 22,810 ° — 74 +2387,072981838 ${\displaystyle C_{2}}$ 0,000641539 0 0 12 62 0 0 216 144 0 22,966 ° — 75 +2454,369689040 ${\displaystyle D_{3}}$ 0 0 0 12 63 0 0 219 146 0 22,736 ° — 76 +2522,674871841 ${\displaystyle C_{2}}$ 0,000943474 0 0 12 64 0 0 222 148 0 22,886 ° — 77 +2591,850152354 ${\displaystyle D_{5}}$ 0 0 0 12 65 0 0 225 150 0 23,286 ° — 78 +2662,046474566 ${\displaystyle T_{h}}$ 0 0 0 12 66 0 0 228 152 0 23,426 ° — 79 +2733,248357479 ${\displaystyle C_{s}}$ 0,000702921 0 0 12 63 1 0 230 152 1 22,636 ° — 80 +2805,355875981 ${\displaystyle D_{4d}}$ 0 0 0 16 64 0 0 232 152 2 22,778 ° — 81 +2878,522829664 ${\displaystyle C_{2}}$ 0,000194289 0 0 12 69 0 0 237 158 0 21,892 ° — 82 +2952,569675286 ${\displaystyle D_{2}}$ 0 0 0 12 70 0 0 240 160 0 22,206 ° — 83 +3027,528488921 ${\displaystyle C_{2}}$ 0,000339815 0 0 14 67 2 0 243 162 0 21,646 ° — 84 +3103,465124431 ${\displaystyle C_{2}}$ 0,000401973 0 0 12 72 0 0 246 164 0 21,513 ° — 85 +3180,361442939 ${\displaystyle C_{2}}$ 0,000416581 0 0 12 73 0 0 249 166 0 21,498 ° — 86 +3258,211605713 ${\displaystyle C_{2}}$ 0,001378932 0 0 12 74 0 0 252 168 0 21,522 ° — 87 +3337,000750014 ${\displaystyle C_{2}}$ 0,000754863 0 0 12 75 0 0 255 170 0 21,456 ° — 88 +3416,720196758 ${\displaystyle D_{2}}$ 0 0 0 12 76 0 0 258 172 0 21,486 ° — 89 +3497,439018625 ${\displaystyle C_{2}}$ 0,000070891 0 0 12 77 0 0 261 174 0 21,182 ° — 90 +3579,091222723 ${\displaystyle D_{3}}$ 0 0 0 12 78 0 0 264 176 0 21,230 ° — 91 +3661,713699320 ${\displaystyle C_{2}}$ 0,000033221 0 0 12 79 0 0 267 178 0 21,105 ° — 92 +3745,291636241 ${\displaystyle D_{2}}$ 0 0 0 12 80 0 0 270 180 0 21,026 ° — 93 +3829,844338421 ${\displaystyle C_{2}}$ 0,000213246 0 0 12 81 0 0 273 182 0 20,751 ° — 94 +3915,309269620 ${\displaystyle D_{2}}$ 0 0 0 12 82 0 0 276 184 0 20,952 ° — 95 +4001,771675565 ${\displaystyle C_{2}}$ 0,000116638 0 0 12 83 0 0 279 186 0 20,711 ° — 96 +4089,154010060 ${\displaystyle C_{2}}$ 0,000036310 0 0 12 84 0 0 282 188 0 20,687 ° — 97 +4177,533599622 ${\displaystyle C_{2}}$ 0,000096437 0 0 12 85 0 0 285 190 0 20,450 ° — 98 +4266,822464156 ${\displaystyle C_{2}}$ 0,000112916 0 0 12 86 0 0 288 192 0 20,422 ° — 99 +4357,139163132 ${\displaystyle C_{2}}$ 0,000156508 0 0 12 87 0 0 291 194 0 20,284 ° — 100 +4448,350634331 ${\displaystyle T}$ 0 0 0 12 88 0 0 294 196 0 20,297 ° — 101 +4540,590051694 ${\displaystyle D_{3}}$ 0 0 0 12 89 0 0 297 198 0 20,011 ° — 102 +4633,736565899 ${\displaystyle D_{3}}$ 0 0 0 12 90 0 0 300 200 0 20,040 ° — 103 +4727,836616833 ${\displaystyle C_{2}}$ 0,000201245 0 0 12 91 0 0 303 202 0 19,907 ° — 104 +4822,876522746 ${\displaystyle D_{6}}$ 0 0 0 12 92 0 0 306 204 0 19,957 ° — 105 +4919,000637616 ${\displaystyle D_{3}}$ 0 0 0 12 93 0 0 309 206 0 19,842 ° — 106 +5015,984595705 ${\displaystyle D_{2}}$ 0 0 0 12 94 0 0 312 208 0 19,658 ° — 107 +5113,953547724 ${\displaystyle C_{2}}$ 0,000064137 0 0 12 95 0 0 315 210 0 19,327 ° — 108 +5212,813507831 ${\displaystyle C_{2}}$ 0,000432525 0 0 12 96 0 0 318 212 0 19,327 ° — 109 +5312,735079920 ${\displaystyle C_{2}}$ 0,000647299 0 0 14 93 2 0 321 214 0 19,103 ° — 110 +5413,549294192 ${\displaystyle D_{6}}$ 0 0 0 12 98 0 0 324 216 0 19,476 ° — 111 +5515,293214587 ${\displaystyle D_{3}}$ 0 0 0 12 99 0 0 327 218 0 19,255 ° — 112 +5618,044882327 ${\displaystyle D_{5}}$ 0 0 0 12 100 0 0 330 220 0 19,351 ° — 113 +5721,824978027 ${\displaystyle D_{3}}$ 0 0 0 12 101 0 0 333 222 0 18,978 ° — 114 +5826,521572163 ${\displaystyle C_{2}}$ 0,000149772 0 0 12 102 0 0 336 224 0 18,836 ° — 115 +5932,181285777 ${\displaystyle C_{3}}$ 0,000049972 0 0 12 103 0 0 339 226 0 18,458 ° — 116 +6038,815593579 ${\displaystyle C_{2}}$ 0,000259726 0 0 12 104 0 0 342 228 0 18,386 ° — 117 +6146,342446579 ${\displaystyle C_{2}}$ 0,000127609 0 0 12 105 0 0 345 230 0 18,566 ° — 118 +6254,877027790 ${\displaystyle C_{2}}$ 0,000332475 0 0 12 106 0 0 348 232 0 18,455 ° — 119 +6364,347317479 ${\displaystyle C_{2}}$ 0,000685590 0 0 12 107 0 0 351 234 0 18,336 ° — 120 +6474,756324980 ${\displaystyle C_{s}}$ 0,001373062 0 0 12 108 0 0 354 236 0 18,418 ° — 121 +6586,121949584 ${\displaystyle C_{3}}$ 0,000838863 0 0 12 109 0 0 357 238 0 18,199 ° — 122 +6698,374499261 ${\displaystyle I_{h}}$ 0 0 0 12 110 0 0 360 240 0 18,612 ° — 123 +6811,827228174 ${\displaystyle C_{2v}}$ 0,001939754 0 0 14 107 2 0 363 242 0 17,840 ° — 124 +6926,169974193 ${\displaystyle D_{2}}$ 0 0 0 12 112 0 0 366 244 0 18,111 ° — 125 +7041,473264023 ${\displaystyle C_{2}}$ 0,000088274 0 0 12 113 0 0 369 246 0 17,867 ° — 126 +7157,669224867 ${\displaystyle D_{4}}$ 0 0 2 16 100 8 0 372 248 0 17,920 ° — 127 +7274,819504675 ${\displaystyle D_{5}}$ 0 0 0 12 115 0 0 375 250 0 17,877 ° — 128 +7393,007443068 ${\displaystyle C_{2}}$ 0,000054132 0 0 12 116 0 0 378 252 0 17,814 ° — 129 +7512,107319268 ${\displaystyle C_{2}}$ 0,000030099 0 0 12 117 0 0 381 254 0 17,743 ° — 130 +7632,167378912 ${\displaystyle C_{2}}$ 0,000025622 0 0 12 118 0 0 384 256 0 17,683 ° — 131 +7753,205166941 ${\displaystyle C_{2}}$ 0,000305133 0 0 12 119 0 0 387 258 0 17,511 ° — 132 +7875,045342797 ${\displaystyle I}$ 0 0 0 12 120 0 0 390 260 0 17,958 ° — 133 +7998,179212898 ${\displaystyle C_{3}}$ 0,000591438 0 0 12 121 0 0 393 262 0 17,133 ° — 134 +8122,089721194 ${\displaystyle C_{2}}$ 0,000470268 0 0 12 122 0 0 396 264 0 17,214 ° — 135 +8246,909486992 ${\displaystyle D_{3}}$ 0 0 0 12 123 0 0 399 266 0 17,431 ° — 136 +8372,743302539 ${\displaystyle T}$ 0 0 0 12 124 0 0 402 268 0 17,485 ° — 137 +8499,534494782 ${\displaystyle D_{5}}$ 0 0 0 12 125 0 0 405 270 0 17,560 ° — 138 +8627,406389880 ${\displaystyle C_{2}}$ 0,000473576 0 0 12 126 0 0 408 272 0 16,924 ° — 139 +8756,227056057 ${\displaystyle C_{2}}$ 0,000404228 0 0 12 127 0 0 411 274 0 16,673 ° — 140 +8885,980609041 ${\displaystyle C_{1}}$ 0,000630351 0 0 13 126 1 0 414 276 0 16,773 ° — 141 +9016,615349190 ${\displaystyle C_{2v}}$ 0,000376365 0 0 14 126 0 1 417 278 0 16,962 ° — 142 +9148,271579993 ${\displaystyle C_{2}}$ 0,000550138 0 0 12 130 0 0 420 280 0 16,840 ° — 143 +9280,839851192 ${\displaystyle C_{2}}$ 0,000255449 0 0 12 131 0 0 423 282 0 16,782 ° — 144 +9414,371794460 ${\displaystyle D_{2}}$ 0 0 0 12 132 0 0 426 284 0 16,953 ° — 145 +9548,928837232 ${\displaystyle C_{s}}$ 0,000094938 0 0 12 133 0 0 429 286 0 16,841 ° — 146 +9684,381825575 ${\displaystyle D_{2}}$ 0 0 0 12 134 0 0 432 288 0 16,905 ° — 147 +9820,932378373 ${\displaystyle C_{2}}$ 0,000636651 0 0 12 135 0 0 435 290 0 16,458 ° — 148 +9958,406004270 ${\displaystyle C_{2}}$ 0,000203701 0 0 12 136 0 0 438 292 0 16,627 ° — 149 +10096,859907397 ${\displaystyle C_{1}}$ 0,000638186 0 0 14 133 2 0 441 294 0 16,344 ° — 150 +10236,196436701 ${\displaystyle T}$ 0 0 0 12 138 0 0 444 296 0 16,405 ° — 151 +10376,571469275 ${\displaystyle C_{2}}$ 0,000153836 0 0 12 139 0 0 447 298 0 16,163 ° — 152 +10517,867592878 ${\displaystyle D_{2}}$ 0 0 0 12 140 0 0 450 300 0 16,117 ° — 153 +10660,082748237 ${\displaystyle D_{3}}$ 0 0 0 12 141 0 0 453 302 0 16,390 ° — 154 +10803,372421141 ${\displaystyle C_{2}}$ 0,000735800 0 0 12 142 0 0 456 304 0 16,078 ° — 155 +10947,574692279 ${\displaystyle C_{2}}$ 0,000603670 0 0 12 143 0 0 459 306 0 15,990 ° — 156 +11092,798311456 ${\displaystyle C_{2}}$ 0,000508534 0 0 12 144 0 0 462 308 0 15,822 ° — 157 +11238,903041156 ${\displaystyle C_{2}}$ 0,000357679 0 0 12 145 0 0 465 310 0 15,948 ° — 158 +11385,990186197 ${\displaystyle C_{2}}$ 0,000921918 0 0 12 146 0 0 468 312 0 15,987 ° — 159 +11534,023960956 ${\displaystyle C_{2}}$ 0,000381457 0 0 12 147 0 0 471 314 0 15,960 ° — 160 +11683,054805549 ${\displaystyle D_{2}}$ 0 0 0 12 148 0 0 474 316 0 15,961 ° — 161 +11833,084739465 ${\displaystyle C_{2}}$ 0,000056447 0 0 12 149 0 0 477 318 0 15,810 ° — 162 +11984,050335814 ${\displaystyle D_{3}}$ 0 0 0 12 150 0 0 480 320 0 15,813 ° — 163 +12136,013053220 ${\displaystyle C_{2}}$ 0,000120798 0 0 12 151 0 0 483 322 0 15,675 ° — 164 +12288,930105320 ${\displaystyle D_{2}}$ 0 0 0 12 152 0 0 486 324 0 15,655 ° — 165 +12442,804451373 ${\displaystyle C_{2}}$ 0,000091119 0 0 12 153 0 0 489 326 0 15,651 ° — 166 +12597,649071323 ${\displaystyle D_{2d}}$ 0 0 0 16 146 4 0 492 328 0 15,607 ° — 167 +12753,469429750 ${\displaystyle C_{2}}$ 0,000097382 0 0 12 155 0 0 495 330 0 15,600 ° — 168 +12910,212672268 ${\displaystyle D_{3}}$ 0 0 0 12 156 0 0 498 332 0 15,655 ° — 169 +13068,006451127 ${\displaystyle C_{s}}$ 0,000068102 0 0 13 155 1 0 501 334 0 15,537 ° — 170 +13226,681078541 ${\displaystyle D_{2d}}$ 0 0 0 12 158 0 0 504 336 0 15,569 ° — 171 +13386,355930717 ${\displaystyle D_{3}}$ 0 0 0 12 159 0 0 507 338 0 15,497 ° — 172 +13547,018108787 ${\displaystyle C_{2v}}$ 0,000547291 0 0 14 156 2 0 510 340 0 15,292 ° — 173 +13708,635243034 ${\displaystyle C_{s}}$ 0,000286544 0 0 12 161 0 0 513 342 0 15,225 ° — 174 +13871,187092292 ${\displaystyle D_{2}}$ 0 0 0 12 162 0 0 516 344 0 15,366 ° — 175 +14034,781306929 ${\displaystyle C_{2}}$ 0,000026686 0 0 12 163 0 0 519 346 0 15,252 ° — 176 +14199,354775632 ${\displaystyle C_{1}}$ 0,000283978 0 0 12 164 0 0 522 348 0 15,101 ° — 177 +14364,837545298 ${\displaystyle D_{5}}$ 0 0 0 12 165 0 0 525 350 0 15,269 ° — 178 +14531,309552587 ${\displaystyle D_{2}}$ 0 0 0 12 166 0 0 528 352 0 15,145 ° — 179 +14698,754594220 ${\displaystyle C_{1}}$ 0,000125113 0 0 13 165 1 0 531 354 0 14,968 ° — 180 +14867,099927525 ${\displaystyle D_{2}}$ 0 0 0 12 168 0 0 534 356 0 15,067 ° — 181 +15036,467239769 ${\displaystyle C_{2}}$ 0,000304193 0 0 12 169 0 0 537 358 0 15,002 ° — 182 +15206,730610906 ${\displaystyle D_{5}}$ 0 0 0 12 170 0 0 540 360 0 15,155 ° — 183 +15378,166571028 ${\displaystyle C_{1}}$ 0,000467899 0 0 12 171 0 0 543 362 0 14,747 ° — 184 +15550,421450311 ${\displaystyle T}$ 0 0 0 12 172 0 0 546 364 0 14,932 ° — 185 +15723,720074072 ${\displaystyle C_{2}}$ 0,000389762 0 0 12 173 0 0 549 366 0 14,775 ° — 186 +15897,897437048 ${\displaystyle C_{1}}$ 0,000389762 0 0 12 174 0 0 552 368 0 14,739 ° — 187 +16072,975186320 ${\displaystyle D_{5}}$ 0 0 0 12 175 0 0 555 370 0 14,848 ° — 188 +16249,222678879 ${\displaystyle D_{2}}$ 0 0 0 12 176 0 0 558 372 0 14,740 ° — 189 +16426,371938862 ${\displaystyle C_{2}}$ 0,000020732 0 0 12 177 0 0 561 374 0 14,671 ° — 190 +16604,428338501 ${\displaystyle C_{3}}$ 0,000586804 0 0 12 178 0 0 564 376 0 14,501 ° — 191 +16783,452219362 ${\displaystyle C_{1}}$ 0,001129202 0 0 13 177 1 0 567 378 0 14,195 ° — 192 +16963,338386460 ${\displaystyle I}$ 0 0 0 12 180 0 0 570 380 0 14,819 ° — 193 +17144,564740880 ${\displaystyle C_{2}}$ 0,000985192 0 0 12 181 0 0 573 382 0 14,144 ° — 194 +17326,616136471 ${\displaystyle C_{1}}$ 0,000322358 0 0 12 182 0 0 576 384 0 14,350 ° — 195 +17509,489303930 ${\displaystyle D_{3}}$ 0 0 0 12 183 0 0 579 386 0 14,375 ° — 196 +17693,460548082 ${\displaystyle C_{2}}$ 0,000315907 0 0 12 184 0 0 582 388 0 14,251 ° — 197 +17878,340162571 ${\displaystyle D_{5}}$ 0 0 0 12 185 0 0 585 390 0 14,147 ° — 198 +18064,262177195 ${\displaystyle C_{2}}$ 0,000011149 0 0 12 186 0 0 588 392 0 14,237 ° — 199 +18251,082495640 ${\displaystyle C_{1}}$ 0,000534779 0 0 12 187 0 0 591 394 0 14,153 ° — 200 +18438,842717530 ${\displaystyle D_{2}}$ 0 0 0 12 188 0 0 594 396 0 14,222 ° — 201 +18627,591226244 ${\displaystyle C_{1}}$ 0,001048859 0 0 13 187 1 0 597 398 0 13,830 ° — 202 +18817,204718262 ${\displaystyle D_{5}}$ 0 0 0 12 190 0 0 600 400 0 14,189 ° — 203 +19007,981204580 ${\displaystyle C_{s}}$ 0,000600343 0 0 12 191 0 0 603 402 0 13,977 ° — 204 +19199,540775603 ${\displaystyle T_{h}}$ 0 0 0 12 192 0 0 606 404 0 14,291 ° — 212 +20768,053085964 ${\displaystyle I}$ 0 0 0 12 200 0 0 630 420 0 14,118 ° — 214 +21169,910410375 ${\displaystyle T}$ 0 0 0 12 202 0 0 636 424 0 13,771 ° — 216 +21575,596377869 ${\displaystyle D_{3}}$ 0 0 0 12 204 0 0 642 428 0 13,735 ° — 217 +21779,856080418 ${\displaystyle D_{5}}$ 0 0 0 12 205 0 0 645 430 0 13,902 ° — 232 +24961,252318934 ${\displaystyle T}$ 0 0 0 12 220 0 0 690 460 0 13,260 ° — 255 +30264,424251281 ${\displaystyle D_{3}}$ 0 0 0 12 243 0 0 +759 506 0 12,565 ° — 256 +30506,687515847 ${\displaystyle T}$ 0 0 0 12 244 0 0 762 508 0 12,572 ° — 257 +30749,941417346 ${\displaystyle D_{5}}$ 0 0 0 12 245 0 0 765 510 0 12,672 ° — 272 +34515,193292681 ${\displaystyle I_{h}}$ 0 0 0 12 260 0 0 810 540 0 12,335 ° — 282 +37147,294418462 ${\displaystyle I}$ 0 0 0 12 270 0 0 840 560 0 12,166 ° — 292 +39877,008012909 ${\displaystyle D_{5}}$ 0 0 0 12 280 0 0 870 580 0 11,857 ° — 306 +43862,569780797 ${\displaystyle T_{h}}$ 0 0 0 12 294 0 0 912 608 0 11,628 ° — 312 +45629,313804002 ${\displaystyle C_{2}}$ 0,000306163 0 0 12 300 0 0 930 620 0 11,299 ° — 315 +46525,825643432 ${\displaystyle D_{3}}$ 0 0 0 12 303 0 0 +939 626 0 11,337 ° — 317 +47128,310344520 ${\displaystyle D_{5}}$ 0 0 0 12 305 0 0 945 630 0 11,423 ° — 318 +47431,056020043 ${\displaystyle D_{3}}$ 0 0 0 12 306 0 0 +948 632 0 11,219 ° — 334 +52407,728127822 ${\displaystyle T}$ 0 0 0 12 322 0 0 +996 664 0 11,058 ° — 348 +56967,472454334 ${\displaystyle T_{h}}$ 0 0 0 12 336 0 0 1038 692 0 10,721 ° — 357 +59999,922939598 ${\displaystyle D_{5}}$ 0 0 0 12 345 0 0 1065 710 0 10,728 ° — 358 +60341,830924588 ${\displaystyle T}$ 0 0 0 12 346 0 0 1068 712 0 10,647 ° — 372 +65230,027122557 ${\displaystyle I}$ 0 0 0 12 360 0 0 1110 740 0 10,531 ° — 382 +68839,426839215 ${\displaystyle D_{5}}$ 0 0 0 12 370 0 0 1140 760 0 10,379 ° — 390 +71797,035335953 ${\displaystyle T_{h}}$ 0 0 0 12 378 0 0 1164 +776 0 10,222 ° — 392 +72546,258370889 ${\displaystyle I}$ 0 0 0 12 380 0 0 1170 780 0 10,278 ° — 400 +75582,448512213 ${\displaystyle T}$ 0 0 0 12 388 0 0 +1194 +796 0 10,068 ° — 402 +76351,192432673 ${\displaystyle D_{5}}$ 0 0 0 12 390 0 0 1200 800 0 10,099 ° — 432 +88353,709681956 ${\displaystyle D_{3}}$ 0 0 0 24 396 12 0 1290 860 0 9,556 ° — 448 +95115,546986209 ${\displaystyle T}$ 0 0 0 24 412 12 0 1338 892 0 9,322 ° — 460 +100351,763108673 ${\displaystyle T}$ 0 0 0 24 424 12 0 1374 916 0 9,297 ° — 468 +103920,871715127 ${\displaystyle S_{6}}$ 0 0 0 24 432 12 0 1398 +932 0 9,120 ° — 470 +104822,886324279 ${\displaystyle S_{6}}$ 0 0 0 24 434 12 0 1404 +936 0 9,059 ° — Согласно предположению, если ${\displaystyle {\displaystyle m=n+2}}$, p — многогранник, образованный выпуклой оболочкой из m точек, q — число четырёхугольных граней p , то решение для m электронов равно f (m):${\displaystyle {\displaystyle f(m)=0^{n}+3n-q}}$. Примечания Atiyah, Michael; Sutcliffe, Paul (2003). Polyhedra in physics, chemistry and geometry. arXiv:math-ph/0303071. Ссылки Томсон, Джозеф Джон (март 1904 г.). «О структуре атома: исследование устойчивости и периодов колебаний ряда корпускул, расположенных через равные интервалы вокруг окружности круга; с применением результатов к теории атомной структуры» (PDF) . Философский Журнал . Серия 6. 7 (39): 237—265. doi : 10.1080 / 14786440409463107 . Архивировано из оригинального(PDF) 13 декабря 2013 года. Смейл, С. (1998)."Математические проблемы будущего века". «Математический интеллект». Fppl, Л. (1912). «Стабильное расположение электронов в атоме» Дж. Рейн Энджью. Математика (141): 251—301 Шварц, Ричард (2010). «Пятиэлектронный случай проблемы Томсона». arXiv : 1001.3702 ;[ math.MG ]. ^ Ландкоф Н. С. Основы современной теории потенциала. Перевод с русского А. П. Духовского. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, группа 180. Springer-Verlag, Нью-Йорк-Гейдельберг, 1972. х + 424 с. ^ Хардин Д.П .; Сафф, Э. Б. Дискретизирующие многообразия через точки минимальной энергии. Заметки амер. Математика Soc. 51 (2004), нет. 10, 1186—1194 ^ Левин, Y .; Arenzon, JJ (2003). «Почему заряды уходят на поверхность: обобщенная проблема Томсона». Europhys. Lett . 63 (3): 415. arXiv : cond-mat / 0302524. doi : 10.1209 / epl / i2003-00546-1 . ^ Сэр Дж. Дж. Томсон, лекция Романов, 1914 (Атомная теория) LaFave Jr, Тим (2013). «Соответствия между классической электростатической проблемой Томсона и атомной электронной структурой». Журнал Электростатики . 71 (6): 1029—1035. arXiv : 1403.2591. doi : 10.1016 / j.elstat.2013.10.001 . Кевин Браун. «Конфигурации минимальных энергий электронов на сфере» . Получено 2014-05-01. «Sloane’s A008486 (см. Комментарий от 03 февраля 2017 г.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS . Получено 2017-02-08