Меню Главная Случайная статья Настройки Интегралы Френеля Материал из https://ru.wikipedia.org Интегралы Френеля S(x) и C(x) — это специальные функции, названные в честь Огюстена Жана Френеля и используемые в оптике. Они возникают при расчёте дифракции Френеля и определяются как ${\displaystyle S(x)=\int \limits _{0}^{x}\sin(t^{2})\,dt,\quad C(x)=\int \limits _{0}^{x}\cos(t^{2})\,dt.}$ Параметрический график S(x) и C(x) даёт кривую на плоскости, называемую спиралью Корню или клотоидой. Содержание 1 Разложение в ряд 2 Спираль Корню 3 Свойства 3.1 Вычисление 4 См. также 5 Примечания 6 Ссылки Разложение в ряд Интегралы Френеля могут быть представлены степенными рядами, сходящимися при всех x: ${\displaystyle S(x)=\int \limits _{0}^{x}\sin(t^{2})\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+3}}{(4n+3)(2n+1)!}}={\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{7}}{42}}+{\frac {x^{11}}{1320}}-\cdots ,}$ ${\displaystyle C(x)=\int \limits _{0}^{x}\cos(t^{2})\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+1}}{(4n+1)(2n)!}}=x-{\frac {x^{5}}{10}}+{\frac {x^{9}}{216}}-\cdots .}$ Некоторые авторы[1] используют в качестве аргумента тригонометрических подынтегральных функций ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}t^{2}}$. Таким образом определённые интегралы Френеля получаются из определённых выше интегралов заменой переменной ${\displaystyle t\to {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}t}$ и умножением интегралов на ${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}}$. Спираль Корню Спираль Корню, также известная как клотоида, — это кривая, являющаяся параметрическим графиком S(t) от C(t). Спираль Корню была придумана Мари Альфредом Корню для облегчения расчёта дифракции в прикладных задачах. Так как ${\displaystyle C\,'(t)^{2}+S\,'(t)^{2}=\sin ^{2}(t^{2})+\cos ^{2}(t^{2})=1,}$ то в такой параметризации касательный вектор имеет единичную длину, так что t является длиной кривой, измеряемой от точки (0,0). Следовательно, обе ветви спирали имеют бесконечную длину. Кривизна этой кривой в любой точке пропорциональна длине дуги, заключённой между этой точкой и началом координат. Благодаря этому свойству она применяется в строительстве дорог, так как угловое ускорение машины, движущейся по этой кривой с постоянной скоростью, будет оставаться постоянным. Свойства ${\displaystyle S(x)}$ и ${\displaystyle C(x)}$ — нечётные функции ${\displaystyle x}$. Асимптотики интегралов Френеля при ${\displaystyle x\to \infty }$ даются формулами ${\displaystyle S(x)={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left({\frac {{\mbox{sign}}{(x)}}{2}}-{\frac {\cos {(x^{2})}}{x{\sqrt {2\pi }}}}\left[1+O(x^{-4})\right]-{\frac {\sin {(x^{2})}}{x^{3}{\sqrt {8\pi }}}}\left[1+O(x^{-4})\right]\right),}$ ${\displaystyle C(x)={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left({\frac {{\mbox{sign}}{(x)}}{2}}+{\frac {\sin {(x^{2})}}{x{\sqrt {2\pi }}}}\left[1+O(x^{-4})\right]-{\frac {\cos {(x^{2})}}{x^{3}{\sqrt {8\pi }}}}\left[1+O(x^{-4})\right]\right).}$ Используя разложение в ряд, можно построить аналитическое продолжение интегралов Френеля на всю комплексную плоскость. Комплексные интегралы Френеля выражаются через функцию ошибок как ${\displaystyle S(x)={\frac {\sqrt {\pi }}{4}}\left({\sqrt {i}}\,\mathrm {erf} ({\sqrt {i}}\,x)+{\sqrt {-i}}\,\mathrm {erf} ({\sqrt {-i}}\,x)\right)}$ ${\displaystyle C(x)={\frac {\sqrt {\pi }}{4}}\left({\sqrt {-i}}\,\mathrm {erf} ({\sqrt {i}}\,x)+{\sqrt {i}}\,\mathrm {erf} ({\sqrt {-i}}\,x)\right)}$. Интегралы Френеля не выражаются через элементарные функции, кроме частных случаев. Предел этих функций при ${\displaystyle x\rightarrow \infty }$ равен ${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }\cos t^{2}\,dt=\int \limits _{0}^{\infty }\sin t^{2}\,dt={\frac {\sqrt {2\pi }}{4}}={\sqrt {\frac {\pi }{8}}}.}$ Вычисление Пределы функций C и S при ${\displaystyle x\rightarrow \infty }$ могут быть найдены с помощью контурного интегрирования. Для этого берётся контурный интеграл функции ${\displaystyle e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}}$ по границе сектора на комплексной плоскости, образованного осью абсцисс, лучом ${\displaystyle y=x}$, ${\displaystyle x\geqslant 0}$ и окружностью радиуса R с центром в начале координат. При ${\displaystyle R\rightarrow \infty }$ интеграл по дуге стремится к 0, интеграл по вещественной оси стремится к значению интеграла Пуассона ${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}dt={\sqrt {\frac {\pi }{2}}},}$ и, после некоторых преобразований, интеграл вдоль оставшегося луча может быть выражен через предельное значение интеграла Френеля. См. также Дифракция Френеля Функция Доусона Обобщённые интегралы Френеля Примечания Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. — New York: Dover, 1972. (См. часть 7)  (англ.) Уравнения 7.3.1 — 7.3.2 Ссылки Weisstein, Eric W. Fresnel Integrals (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.  (англ.) Weisstein, Eric W. Cornu Spiral (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.  (англ.) R. Nave, The Cornu spiral, Hyperphysics (2002) (Использует t/2 вместо t.)  (англ.) Roller Coaster Loop Shapes (англ.). Дата обращения: 13 августа 2008. Архивировано из оригинала 4 марта 2006 года. .