Меню Главная Случайная статья Настройки Касательный вектор Материал из https://ru.wikipedia.org Касательный вектор — элемент касательного пространства, например элемент касательной прямой к кривой, касательной плоскости к поверхности так далее. Содержание 1 Касательный вектор к кривой 2 Общее определение 3 Касательный вектор как класс эквивалентности путей 4 Касательный вектор к подмногообразию 4.1 Замечания 5 Литература Касательный вектор к кривой Пусть функция ${\displaystyle f\colon U(x_{0})\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ определена в некоторой окрестности точки ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} }$ и дифференцируема в ней: ${\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(x_{0})}$. Касательным вектором к графику функции ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle x_{0}}$ называется вектор с компонентами ${\displaystyle {\vec {e}}={\frac {1}{\sqrt {1+f'(x_{0})^{2}}}}\cdot {\vec {e}}_{x}+{\frac {f'(x_{0})}{\sqrt {1+f'(x_{0})^{2}}}}\cdot {\vec {e}}_{y}}$. Если функция ${\displaystyle f}$ имеет в точке ${\displaystyle x_{0}}$ бесконечную производную ${\displaystyle f'(x_{0})=\pm \infty ,}$ то касательный вектор ${\displaystyle {\vec {e}}={\vec {e}}_{y}}$. Общее определение Касательным вектором к гладкому многообразию ${\displaystyle M}$ в точке ${\displaystyle p\in M}$ называется оператор ${\displaystyle X}$, сопоставляющий каждой гладкой функции ${\displaystyle f\colon M\to \mathbb {R} }$ число ${\displaystyle Xf}$ и обладающий следующими свойствами: аддитивность: ${\displaystyle X(f+h)=Xf+Xh,}$ правило Лейбница: ${\displaystyle X(fh)=(Xf)\cdot h(p)+f(p)\cdot (Xh).}$ Множество всех таких операторов в точке ${\displaystyle p}$ имеет естественную структуру линейного пространства, именно: ${\displaystyle (X+Y)f=Xf+Yf;}$ ${\displaystyle (k\cdot X)f=k\cdot (Xf),\ \forall k\in \mathbb {R} }$. Совокупность всех касательных векторов в точке ${\displaystyle p}$ образует векторное пространство, которое называется касательным пространством в точке ${\displaystyle p}$. Совокупность всех касательных векторов во всех точках многообразия образует векторное расслоение, которое называется касательным расслоением. Касательный вектор как класс эквивалентности путей Понятие касательного вектора к многообразию в точке обобщает понятие касательного вектора к гладкому пути в пространстве Rn. Пусть в Rn задан гладкий путь ${\displaystyle \mathbf {f} \colon [0,1]\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$: ${\displaystyle \mathbf {f} (t)=f_{1}(t)\mathbf {e} _{1}+f_{2}(t)\mathbf {e} _{2}+\dots +f_{n}(t)\mathbf {e} _{n}}$. Тогда существует единственный прямолинейный и равномерный путь ${\displaystyle \mathbf {l} (t)}$, который его касается в момент времени t0: ${\displaystyle \mathbf {l} (t)=\mathbf {f} (t_{0})+(t-t_{0})\left({\partial f_{1} \over \partial t}(t_{0})\mathbf {e} _{1}+{\partial f_{2} \over \partial t}(t_{0})\mathbf {e} _{2}+\dots +{\partial f_{n} \over \partial t}(t_{0})\mathbf {e} _{n}\right)}$. Касание двух путей ${\displaystyle \mathbf {f} _{1}(t)}$ и ${\displaystyle \mathbf {f} _{2}(t)}$ означает, что ${\displaystyle \mathbf {f} _{1}(t)-\mathbf {f} _{2}(t)=o(t-t_{0})}$; отношения касания путей в точке есть отношение эквивалентности. Kасательный вектор в точке x0 можно определить как класс эквивалентности всех гладких путей, проходящих через точку x0 в один и тот же момент времени, и касающихся друг с другом в этой точке. Касательный вектор к подмногообразию Касательный вектор в точке ${\displaystyle p}$ гладкого подмногообразия ${\displaystyle M}$ евклидова пространства — вектор скорости в точке ${\displaystyle p}$ некоторой кривой в ${\displaystyle M}$. Иначе говоря, касательный вектор в точке ${\displaystyle p}$ подмногообразия, локально заданного параметрически ${\displaystyle r\colon \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$ с ${\displaystyle p=r(0)\ }$, есть произвольная линейная комбинация частных производных ${\displaystyle {\frac {\partial r}{\partial x_{i}}}(0)}$. Замечания Для этого определения касательного вектора достаточно, чтобы подмногообразие было класса гладкости ${\displaystyle C^{1}}$. Согласно теореме Уитни о вложении, любое гладкое n-мерное многообразие допускает вложение в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$. Поэтому, не нарушая строгость, можно использовать данное определение для любого гладкого многообразия. Разумется при этом придётся доказывать независимость определения от вложения. Литература Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — 2е. — М.: Наука, 1986. — 760 с.