Меню Главная Случайная статья Настройки Интеграл Джексона Материал из https://ru.wikipedia.org Интеграл Джексона в теории специальных функций отражает операцию, обратную q-дифференцированию. Интеграл Джексона ввёл Франк Хилтон Джексон. Содержание 1 Определение 2 Интеграл Джексона как q-первообразная 2.1 Теорема 3 Примечания 4 Литература Определение Пусть ${\displaystyle f(x)}$ — функция от вещественной переменной ${\displaystyle x}$. Интеграл Джексона для ${\displaystyle f}$ определяется как следующий ряд: ${\displaystyle \int f(x)\,{\rm {d}}_{q}x=(1-q)\,x\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}f(q^{k}x).}$ В случае, если ${\displaystyle g(x)}$ является другой функцией и ${\displaystyle D_{q}g}$ означает её ${\displaystyle q}$-производную, формально её можно записать: ${\displaystyle \int f(x)\,D_{q}g\,{\rm {d}}_{q}x=(1-q)\,x\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}f(q^{k}x)\,D_{q}g(q^{k}x)=(1-q)\,x\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}f(q^{k}x){\tfrac {g(q^{k}x)-g(q^{k+1}x)}{(1-q)q^{k}x}},}$ или: ${\displaystyle \int f(x)\,{\rm {d}}_{q}g(x)=\sum _{k=0}^{\infty }f(q^{k}x)\cdot (g(q^{k}x)-g(q^{k+1}x)),}$ В результате получается ${\displaystyle q}$-аналог интеграла Римана — Стилтьеса. Интеграл Джексона как q-первообразная Как обычная первообразная непрерывного отображения может быть представлена римановым интегралом, так и интеграл Джексона даёт единственную q-первообразную для некоторого класса функций (см. статьи Кемпфа и Маджида[1]). Теорема Если предположить, что ${\displaystyle 0<q<1}$ и если значение ${\displaystyle |f(x)x^{\alpha }|}$ ограничено на интервале ${\displaystyle [0,A)}$ для некоторого ${\displaystyle 0\leqslant \alpha <1,}$ то интеграл Джексона сходится к функции ${\displaystyle F(x)}$ на ${\displaystyle [0,A)}$, которая является q-первообразной функции ${\displaystyle f(x)}$. Более того, ${\displaystyle F(x)}$ непрерывна на ${\displaystyle x=0}$ с ${\displaystyle F(0)=0}$ и является первообразной функции ${\displaystyle f(x)}$ в этом классе функций[2]. Примечания Kempf, Majid, 1994, с. 6802. Kac, Cheung, 2002, с. Theorem 19.1. Литература Victor Kac, Pokman Cheung. Quantum Calculus. — Springer-Verlag, 2002. — (Universitext). — ISBN 0-387-95341-8. Jackson F. H. A generalization of the functions (n) and xn // Proc. R. Soc. — 1904. — Т. 74. — С. 64–72. Jackson F. H. On q-definite integrals // Q. J. Pure Appl. Math.. — 1910. — Т. 41. — С. 193–203. Algebraic qintegration and Fourier theory on quantum and braided spaces // J. Math. Phys.. — 1994. — Вып. 35. — С. 6802. — doi:10.1063/1.530644. Kempf A., Majid S. Algebraic qintegration and Fourier theory on quantum and braided spaces, arxiv version . Дата обращения: 24 апреля 2015.