Меню Главная Случайная статья Настройки q-производная Материал из https://ru.wikipedia.org Q-производная или производная Джексона — это q-аналог обычной производной, который предложил Франк Хилтон Джексон. Q-производная обратна q-интегрированию Джексона. Другие виды q-производной можно найти в статье К.С. Чанга, В.С Чанга, С.Т. Нама и Х.Дж. Кана[1]. Содержание 1 Определение 2 Связь с обычными производными 3 См. также 4 Примечания 5 Литература 6 Литература для дальнейшего чтения Определение Q-производная функции f(x) определяется как ${\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}\right)_{q}f(x)={\frac {f(qx)-f(x)}{qx-x}}.}$ и часто записывается как ${\displaystyle D_{q}f(x)}$. Q-производная известна также как производная Джексона. Формально, в терминах оператора сдвига Лагранжа в логарифмических переменных, это равносильно оператору ${\displaystyle D_{q}={\frac {1}{x}}~{\frac {q^{d~~~ \over d(\ln x)}-1}{q-1}}~,}$ который приводит к обычной производной, ddx при q 1. Оператор очевидно линеен, ${\displaystyle \displaystyle D_{q}(f(x)+g(x))=D_{q}f(x)+D_{q}g(x)~.}$ Q-производная имеет правило для произведения, аналогичное правилу произведения для обычной производной в двух эквивалентных формах ${\displaystyle \displaystyle D_{q}(f(x)g(x))=g(x)D_{q}f(x)+f(qx)D_{q}g(x)=g(qx)D_{q}f(x)+f(x)D_{q}g(x).}$ Аналогично, q-производная удовлетворяет правилу для деления, ${\displaystyle \displaystyle D_{q}(f(x)/g(x))={\frac {g(x)D_{q}f(x)-f(x)D_{q}g(x)}{g(qx)g(x)}},\quad g(x)g(qx)\neq 0.}$ Есть также правило, подобное правилу обычного дифференцирования суперпозиции функций. Пусть ${\displaystyle g(x)=cx^{k}}$. Тогда ${\displaystyle \displaystyle D_{q}f(g(x))=D_{q^{k}}(f)(g(x))D_{q}(g)(x).}$ Собственная функция q-производной — это q-показательная функция[англ.] eq(x). Связь с обычными производными Q-дифференцирование напоминает обычное дифференцирование с курьёзными отличиями. Например, q-производная одночлена равна ${\displaystyle \left({\frac {d}{dz}}\right)_{q}z^{n}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}z^{n-1}=[n]_{q}z^{n-1}}$, где ${\displaystyle [n]_{q}}$ — q-скобка числа n. Заметим, что ${\displaystyle \lim _{q\to 1}[n]_{q}=n}$, так что обычная производная возвращается в пределе. Для функции n-ая q-производная может быть задана как: ${\displaystyle (D_{q}^{n}f)(0)={\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}{\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}={\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}[n]_{q}!}$ при условии, что обычная n-ая производная функции f существует в x = 0. Здесь ${\displaystyle (q;q)_{n}}$ — q-символ Похгаммера, а ${\displaystyle [n]_{q}!}$ — q-факториал. Если функция ${\displaystyle f(x)}$ аналитическая, мы можем использовать формулу Тейлора для определения ${\displaystyle D_{q}(f(x))}$ ${\displaystyle \displaystyle D_{q}(f(x))=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(q-1)^{k}}{(k+1)!}}x^{k}f^{(k+1)}(x).}$ Q-аналог разложения Тейлора функции около нуля: ${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }f^{(n)}(0)\,{\frac {z^{n}}{n!}}=\sum _{n=0}^{\infty }(D_{q}^{n}f)(0)\,{\frac {z^{n}}{[n]_{q}!}}}$ См. также Производная (математика) Инеграл Джексона[англ.] Q-показательная функция[англ.] Q-разностные многочлены[англ.] Квантовое исчисление[англ.] Энтропия Цаллиса Примечания Chung, Chung, Nam, Kang, 1994. Литература Jackson F. H. On q-functions and a certain difference operator // Trans. Roy. Soc. Edin.. — 1908. — Т. 46. — С. 253-281. Exton H. q-Hypergeometric Functions and Applications. — New York, Chichester: Halstead Press; Ellis Horwood, 1983. — ISBN 0853124914. Chung K. S., Chung W. S., Nam S. T., Kang H. J. New q-derivative and q-logarithm // International Journal of Theoretical Physics. — 1994. — Т. 33. — С. 2019-2029. Литература для дальнейшего чтения J. Koekoek, R. Koekoek, A note on the q-derivative operator, (1999) ArXiv math/9908140 Thomas Ernst, The History of q-Calculus and a new method,(2001),