Меню Главная Случайная статья Настройки Интерполяционные формулы Ньютона Материал из https://ru.wikipedia.org Интерполяционные формулы Ньютона — формулы вычислительной математики, применяющиеся для полиномиального интерполирования. Содержание 1 Формулы 1.1 Случай неравноотстоящих узлов 1.2 Случай равноотстоящих узлов 1.3 Остаточный член 2 См. также 3 Примечания 4 Литература Формулы Пусть заданы некоторые попарно различные точки ${\displaystyle x_{0},\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}}$, называемые также узлами интерполяции, и известны значения ${\displaystyle f(x_{0}),\,f(x_{1}),\,\ldots ,\,f(x_{n})}$ некоторой функции ${\displaystyle f}$ в этих точках. Случай неравноотстоящих узлов Если все расстояния между соседними узлами различны, то многочлен Ньютона строится по формуле[1] ${\displaystyle P_{n}(x)=f(x_{0})+(x-x_{0})f(x_{0};x_{1})+(x-x_{0})(x-x_{1})f(x_{0};x_{1};x_{2})+\ldots +(x-x_{0})\ldots (x-x_{n-1})f(x_{0};\ldots ;x_{n}),}$ где ${\displaystyle f(x_{0};\ldots ;x_{n})}$ — разделённая разность порядка ${\displaystyle n}$. Случай равноотстоящих узлов Если соседние узлы находятся друг от друга на некотором фиксированном расстоянии ${\displaystyle h}$, то есть ${\displaystyle x_{i}=x_{0}+ih}$, ${\displaystyle i=0,\ldots ,n}$, то многочлен Ньютона можно строить либо начиная с ${\displaystyle x_{0}}$ (в таком случае говорят об «интерполировании вперёд»), либо с ${\displaystyle x_{n}}$ («интерполирование назад»). В первом случае формула для многочлена Ньютона принимает вид[2] ${\displaystyle P_{n}(x)=y_{0}+q\Delta y_{0}+{\frac {q(q-1)}{2!}}\Delta ^{2}y_{0}+\ldots +{\frac {q(q-1)\ldots (q-n+1)}{n!}}\Delta ^{n}y_{0},}$ где ${\displaystyle q=(x-x_{0})/h,\;y_{i}=f(x_{i})}$, а выражения вида ${\displaystyle \Delta ^{k}y_{0}}$ — конечные разности. Во втором случае формула принимает вид[3] ${\displaystyle P_{n}(x)=y_{n}+q\Delta y_{n-1}+{\frac {q(q+1)}{2!}}\Delta ^{2}y_{n-2}+\ldots +{\frac {q(q+1)\ldots (q+n-1)}{n!}}\Delta ^{n}y_{0},}$ где ${\displaystyle q=(x-x_{n})/h}$. При ${\displaystyle h=1}$ справедлива формула ${\displaystyle P_{n}(x)=\sum _{m=0}^{n}C_{x-x_{0}}^{m}\sum _{k=0}^{m}(-1)^{m-k}\,C_{m}^{k}\,f(k)}$ где ${\displaystyle C_{x}^{m}}$ — обобщённые на область действительных чисел биномиальные коэффициенты. Остаточный член Многочлен Ньютона представляет собой одну из форм записи многочлена Лагранжа, поэтому остаточные члены этих формул совпадают[4]. Однако остаточный член ${\displaystyle R_{n}(x)=f(x)-P_{n}(x)}$ формулы Ньютона можно записать в другой форме: для случая неравноотстоящих узлов[4]: ${\displaystyle R_{n}(x)=(x-x_{0})(x-x_{1})\ldots (x-x_{n})f(x_{0};\ldots ;x_{n}).}$ Если функция ${\displaystyle f}$ имеет производную порядка ${\displaystyle n+1}$, то ${\displaystyle f(x_{0};\ldots ;x_{n})={\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}},}$ где ${\displaystyle \xi }$ — некоторая точка, принадлежащая наименьшему промежутку, содержащему все узлы интерполяции. для случая равноотстоящих узлов: для интерполирования вперёд[5]: ${\displaystyle R_{n}={\frac {h^{n+1}f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}q(q-1)(q-2)\ldots (q-n).}$ для интерполирования назад[6]: ${\displaystyle R_{n}={\frac {h^{n+1}f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}q(q+1)(q+2)\ldots (q+n).}$ См. также Интерполяционная формула Интерполяционный многочлен Эрмитова интерполяция Примечания Березин, Жидков, 1962, с. 107. Березин, Жидков, 1962, с. 119. Березин, Жидков, 1962, с. 121. 1 2 Березин, Жидков, 1962, с. 109. Березин, Жидков, 1962, с. 122. Березин, Жидков, 1962, с. 123. Литература Березин, И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений (рус.). — 2-е изд. — М.: Физматлит, 1962. — Т. I.